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数列进阶

回顾及补充

经典常量

π≈3.14159\pi\approx3.14159
e≈2.71828e\approx2.71828
γ≈0.57721\gamma\approx0.57721
φ=1+52≈1.61803\varphi={1+\sqrt5\over2}\approx1.61803
φ^=1−52≈−.61803\hat\varphi={1-\sqrt5\over2}\approx-.61803

基础公式

一些公式，

∑i=1ni=n(n+1)2\sum_{i=1}^ni={n(n+1)\over2}
∑i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6=n(n+1/2)(n+1)3\sum_{i=1}^ni^2={n(n+1)(2n+1)\over6}={n(n+1/2)(n+1)\over3}
∑i=1ni3=[n(n+1)2]2=n2(n+1)24\sum_{i=1}^ni^3=\left[{n(n+1)\over2}\right]^2={n^2(n+1)^2\over4}

可以通过扰动法（见下）或者待定系数并归纳得出。

∑i=0nci=cn+1−1c−1,c≠1\sum_{i=0}^nc^i={c^{n+1}-1\over c-1},c\neq1
∑i≥0ci=11−c,∣c∣<1\sum_{i\ge0}c^i={1\over 1-c},|c|<1
∑i≥1ci=c1−c,∣c∣<1\sum_{i\ge1}c^i={c\over 1-c},|c|<1

上面的是等比数列，下面的用极限得出。

∑i=0nici=ncn+2−(n−1)cn+1+c(c−1)2,c≠1\sum_{i=0}^nic^i={nc^{n+2}-(n-1)c^{n+1}+c\over(c-1)^2},c\neq1
∑i≥0ici=c(1−c)2,∣c∣<1\sum_{i\ge0}ic^i={c\over(1-c)^2},|c|<1

上面的可以扰动法得出，下面的极限得出。

调和级数

Hn=∑i=1n1iH_n=\sum_{i=1}^n{1\over i}

有，

ln⁡n<Hn<ln⁡n+1\ln n<H_n<\ln n+1
Hn=ln⁡n+γ+O(1n)H_n=\ln n+\gamma+\mathcal O\left({1\over n}\right)

同时，

∑i=1nHi=(n+1)Hn−n\sum_{i=1}^nH_i=(n+1)H_n-n
∑i=1niHi=n(n+1)2Hn−n(n−1)4\sum_{i=1}^niH_i={n(n+1)\over2}H_n-{n(n-1)\over4}
∑i=1n(im)Hi=(n+1m+1)(Hn+1−1m+1)\sum_{i=1}^n{i\choose m}H_i={n+1\choose m+1}\left(H_{n+1}-{1\over m+1}\right)

证明下面再说。

欧拉公式

π26=112+122+132+142+152+…\def\ff#1{{1\over#1^2}} {\pi^2\over6}=\ff1+\ff2+\ff3+\ff4+\ff5+\dots
π28=112+132+152+172+192+…\def\ff#1{{1\over#1^2}} {\pi^2\over8}=\ff1+\ff3+\ff5+\ff7+\ff9+\dots

组合数学

见我的排列组合笔记。

111121133114641151010511615201561172135352171182856705628811936841261268436911104512021025221012045101\def\qq{\quad} \begin{array}{c} 1\\ 1\qq1\\ 1\qq2\qq1\\ 1\qq3\qq3\qq1\\ 1\qq4\qq6\qq4\qq1\\ 1\qq5\qq10\qq10\qq5\qq1\\ 1\qq6\qq15\qq20\qq15\qq6\qq1\\ 1\qq7\qq21\qq35\qq35\qq21\qq7\qq1\\ 1\qq8\qq28\qq56\qq70\qq56\qq28\qq8\qq1\\ 1\qq9\qq36\qq84\qq126\qq126\qq84\qq36\qq9\qq1\\ 1\qq10\qq45\qq120\qq210\qq252\qq210\qq120\qq45\qq10\qq1\\ \end{array}

线代基础

∣abcd∣=ad+bc\left\lvert\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right\rvert=ad+bc
det⁡A=∑π∈Snsgn⁡(π)∏i=1nai,π(i)\det A=\sum_{\pi\in S_n}\operatorname{sgn}(\pi)\prod_{i=1}^na_{i,\pi(i)}

RainPPR