均值不等式

简单不等式

一般不等式

糖水不等式：

不等式加法：

不等式减法：

不等式联立：

等式的性质​：

• $a=a$（自反性）
• ‌$a=b\Rightarrow b=a$（对称性）
• $a=b,b=c\Rightarrow a=c$（传递性）
• $a=b\Rightarrow a\pm c=b\pm c,ac=bc,\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$（$c\neq 0$）（替代性）
• 替代性：如果两个对象相等，那么在任何出现它们的位置，都可以用一个替代另一个，等式仍然成立。

不等式的性质​：

• $a>b\Rightarrow b<a$（对称性）
• $a>b,b>c\Rightarrow a>c$（传递性）
• $a>b\Rightarrow a\pm c>b\pm c$
• $a>b,c>0\Rightarrow ac>bc,c<0\Rightarrow ac<bc$
• $a>b,c>d\Rightarrow a+c>b+d$（加法单调性）
• $a>b>0,c>d>0\Rightarrow ac>bd$（乘法单调性）
• $a>b>0,n>0\Rightarrow a^n>b^n,n<0\Rightarrow a^n<b^n$

常用技巧​：

• 减法可以转化为加法：$a-b=a+(-b)$，而除法可以转化为乘法：$\frac{a}{b}=a\times \frac{1}{b}$。
• 比较两个正数 $a,b>0$ 的常用方法：通过做差比较 $a-b$ 与 $0$ 的关系；通过做商比较 $\frac{a}{b}$ 与 $1$ 的关系。

重要不等式

当且仅当 $a=b$ 成立。

例题：证明 $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$。

对 $ab,bc,ca$ 列出重要不等式，各式相加即可得到。

高次不等式

穿根法。

• 因式分解，做数轴标根。

• 偶数次不穿过数轴，结果抠点。

• 分式不等式分解因式后当做乘法（两边同乘分母的平方），扣去无意义的点。

绝对值不等式

如果对于任意 $x$ 都有 $|f(x)|<g(x)$，则

对千绝对值不等式，更多的是分类讨论去掉绝对值，结论本身并不重要。

• 函数 $f(x)=|x-m|+|x-n|(m<n)$ 的图像是以点 $A(m, n-m)$，$B(n, n-m)$ 为折点的倒梯形；$f(x)$ 在 $(-\infty, m]$ 上单调递减，在 $[n, +\infty)$ 上单调递增，在 $[m,n]$ 上无单调性，此时 $f(x)$ 恒等于其最小值 $n-m$；$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上无最大值，其对称轴为 $x=\dfrac{m+n}{2}$。

• 当 $m > n$ 时，$f(x) = |x-m| - |x-n|$ 的图像是以点 $A(n, m-n)$，$B(m, n-m)$ 为折点的“Z 字形”；在 $(-\infty, n]$ 上函数恒取得最大值 $m-n$，在 $[m, +\infty)$ 上函数恒取得最小值 $n-m$；函数在 $[n, m]$ 上递减，其对称中心为 $\left(\dfrac{m+n}{2}, 0\right)$。

• 当 $n > m$ 时，$f(x) = |x-m| - |x-n|$ 的图像是以点 $A(m, m-n)$，$B(n, n-m)$ 为折点的“反 Z 字形”；在 $(-\infty, m]$ 上函数恒取得最小值 $m-n$，在 $[n, +\infty)$ 上函数恒取得最大值 $n-m$；函数在 $[m, n]$ 上递增，其对称中心为 $\left(\dfrac{m+n}{2}, 0\right)$。

$a|x-m|+b|x-n|(m<n)$ 的图像是以 $A(m, f(m))$，$B(n, f(n))$ 为折点的折线。

• 当 $a+b>0$ 时，两端向上无限延伸，故有最小值，最小值为 $\min\{f(m), f(n)\}$；
• 当 $a+b<0$ 时，两端向下无限延伸，故有最大值，最大值为 $\max\{f(m), f(n)\}$；
• 当 $a+b=0$ 时，两端无限延伸且平行于 $x$ 轴，故既有最大值又有最小值，最大值为 $\max\{f(m), f(n)\}$，最小值为 $\min\{f(m), f(n)\}$。

更复杂的，$f(x) = |x-a_1| + |x-a_2| + \cdots + |x-a_n|$（$a_i \in \mathbb{R}, i, n \in \mathbb{N}^*$, 设 $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$）。

• 若 $n=2k-1(k \in \mathbb{N}^*)$，则 $f(x)$ 的图像是以 $(a_k, f(a_k))$ 为顶点的“V 字形”图像。

  • 当且仅当 $x=a_k$ 时，$[f(x)]_{\min} = |(a_1 + a_2 + \cdots + a_{k-1}) - (a_{k+1} + a_{k+2} + \cdots + a_{2k-1})|$；

  • 函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, a_k]$ 上单调递减，在 $[a_k, +\infty)$ 上单调递增，若 $\{a_i\}$ 为等差数列，则图像关于 $x=a_k$ 对称。

• 若 $n=2k(k \in \mathbb{N}^*)$，则 $f(x)$ 的图像是以点 $A(a_k, f(a_k))$, $B(a_{k+1}, f(a_{k+1}))$ 为折点的倒梯形。

  • 当且仅当 $x \in [a_k, a_{k+1}]$ 时，$[f(x)]_{\min} = |(a_1+a_2+\cdots+a_k) - (a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_{2k})|$；

  • 函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, a_k]$ 上单调递减，在 $[a_{k+1}, +\infty)$ 上单调递增，在 $[a_k, a_{k+1}]$ 上无单调性。若 $\{a_i\}$ 为等差数列，则函数图像关于 $x=\dfrac{a_k+a_{k+1}}{2}$ 对称。

三角不等式

均值不等式

二元形式

若 $a,b>0$，则：

理解方式：https://www.bilibili.com/video/BV1Nf4y1G7xV/。

多元形式

若 $a,b>0$，则：

当且仅当 $x_1=x_2=\dots=x_n$ 时，等号成立。

即，对于正实数：调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数。

简记为：「调几算方」。

我们称两两为 X-Y 均值不等式，例如算数-几何均值不等式：

可以进行推广，得到加权平均不等式：

其中 $x_1,x_2,\dots,x_n>0$，$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n>0$ 且 $\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n=1$。

对勾函数

对于定义在 $\R-\{0\}$ 的函数

设 $x_0$ 满足

即

不妨取正的一个解（同时 $f(x)=f(y)$ 当且仅当 $xy=\dfrac{b}{a}$）。

容易知道，$f(x)$ 在 $(0,x_0]$ 单调递减，在 $[x_0,+\infty)$ 单调递增。

在负半轴类似，同时因为在正半轴

也就是说 $f(x)$ 的值域是 $(-\infty,-2\sqrt{ab})\cup(2\sqrt{ab},+\infty)$。

常用变形

均值不等式的本质是

在 $\R$ 上单调递增（其中 $0$ 可去间断）。

关于 $ab$（$a,b\in\R$）：

关于 $a^2+b^2$（$a,b\in\R$）：

关于 $a+b$（$a,b,\in\R_+$）：

关于 $\sqrt a+\sqrt b$（$a,b,\in\R_+$）：

关于 $\sqrt{ab}$（$a,b,\in\R_+$）：

关于 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$（$a,b,\in\R_+$）：

关于 $\dfrac1{\sqrt{a}}+\dfrac1{\sqrt{b}}$（$a,b,\in\R_+$）：

积定和最小，和定积最小。

若缩放所得上下界有未知数，则缩放失效。

做题方法

基本规则

基本不等式的求最值一定要满足“一正、二定、三相等”，即先判定正负性，然后判断放缩后是否为定值，最后验证取等条件。

如果不是定值，通常会导致最值不在缩放的点上，我们可以复杂，对于缩放问题，就不需要是定值了。

例题：若实数 $a,b$ 满足 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}=\sqrt{ab}$，则 $ab$ 的最小值为

我们知道

因此

当且仅当 $b=2a$ 时取等。

利用基本不等式求函数 $f(x)$ 的最大值通常有三种途径：

1. 直接利用均值不等式放缩成 $f(x) \le k$，其中 $k$ 为常数，最后检查等号能否成立；

2. 直接利用均值不等式放缩成 $f(x) \le g(x)$，然后通过解不等式获得 $f(x)$ 的范围，最后检查等号能否成立。

3. 多次利用均值不等式放缩成 $f(x) \le g(x) \le k$，其中 $k$ 为常数，最后检查所有等号成立的条件是否一致。

自由变量公式：

• 自由变量的个数等千变堂的个数减去方程的个数。

• 使用基本不等式的次数等于自由变霆的个数。

一的代换

凑系数、换元法是最基础的方法，除此之外，我们还有妙用：

• 若已知 $ax+by$ 为定值，求它们的倒数和 $\dfrac{c}{x} + \dfrac{d}{y}$ 的最小值，既可以用消元的方法，也可以利用“1”的代换，但是我们推荐使用“1”的代换；

• 若已知 $\dfrac{c}{x} + \dfrac{d}{y}$ 为定值，求和 $ax+by$ 的最小值，既可以用消元的方法，也可以利用“1”的代换，但是我们推荐使用“1”的代换；

• 若已知 $axy+bx+cy+d=0$，求和 $ex+fy$ 的最小值，如果分解因式很显然，使用“1”的代换；否则，使用消元法。

具体的，例如已知 $ax+by=C$，则

当 $x,y>0$ 时，等号当且仅当 $ad\dfrac{x}{y}=bc\dfrac{y}{x}$ 即 $\dfrac{x}{y}=\sqrt{\dfrac{bc}{ad}}$。

简单变形

最常见的方法是分母不变，其他拼凑

如果分子的次数比分母高，通常把上面的先分下来，称为分离常数。

对于积的不等式，通常用调整常数

形如 $ab=a+b$ 的，通常转化为

加权待定

我们知道了 $f(x)=\ln x$ 与 $g(x)=\dfrac{2(x-1)}{x+1}$ 和 $h(x)=\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{x}\right)$ 的关系，那么不妨讨论 $f(x)$ 与

的关系，对 $y=\ln x-\varphi(x)$ 求导即可，此处略。

我们知道高中常见的均值不等式链：

此处不写等号因为对数平均数部分没有办法取等。

另外还有

等形式，都可以用加权待定来理解。

• 在 $x\in(1,+\infty)$，

  $$\small\frac{x-1}{x}<\frac{2(x-1)}{x+1}<\frac{3(x^2-1)}{x^2+4x+1}<\ln x<\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}<\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)<x-1$$

• 在 $x\in(0,1)$，

  $$\small\frac{x-1}{x}<\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)<\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}<\ln x<\frac{3(x^2-1)}{x^2+4x+1}<\frac{2(x-1)}{x+1}<x-1$$

一些例题