多项式入门

基础方法

乘法公式

分配率：

和差方：

二项式定理：

方和差：

一般形式：

次方和公式：

对于五次方及以上，公式较为复杂，一般不考察。

婆罗摩笈多-斐波那契恒等式：

这个恒等式指出，如果有两个数都能表示为两个平方数的和，则这两个数的积也可以表示为两个平方数的和。

计算技巧

共轭根式：

平方：

立方：

幂：

阶乘：

因式分解

经典分离技巧：

一般的，

双十字相乘：

1. 分解 $x^2,y^2,xy$。

2. 将 $x$ 或 $y$ 分为两部分。

3. 检验。

因式定理：形如

的称为多项式，若 $f(a)=0$，则 $f(x)$ 一定可以分解成：

其中 $g(x)$ 是比 $f(x)$ 低一次的多项式。

长除法​：根据因式定理，可以通过长除法来分解多项式。

如果已知多项式的一个或多个零点，因式定理可以帮助提取对应零点的因式，将多项式化简为更低次数的形式，从而简化求根过程。具体步骤如下：

• 先设法找到多项式 $f$ 的一个零点 $a$。
• 用因式定理确认 $(x-a)$ 是多项式 $f(x)$ 的因式。
• 用长除法计算多项式 $g(x)=\frac{f(x)}{x-a}$。
• 在方程 $f(x)=0$ 中，所有满足 $x\neq a$ 的根，都是方程 $g(x)=0$ 的根。
• 由于 $g(x)$ 的多项式次数比 $f(x)$ 低，因此求 $g$ 的零点可能更简单。

等式与方程

韦达定理

对于二次方程

有根的判别式

两根公式

有韦达定理

因此

有二次函数根的分布：

• 方程有两个正根：

  $$\Delta > 0, x_1 + x_2 > 0, x_1x_2 > 0$$

• 方程有两个负根：

  $$\Delta > 0, x_1 + x_2 < 0, x_1x_2 > 0$$

• 方程有两个异号根：

  $$x_1x_2 < 0$$

• 方程有两个根均大于 $m$：

  $$\Delta > 0, x_1 + x_2 > 2m, (x_1 - m)(x_2 - m) > 0$$

• 方程有两个根均小于 $m$：

  $$\Delta > 0, x_1 + x_2 < 2m, (x_1 - m)(x_2 - m) > 0$$

• 方程有两个根在 $m$ 两侧：

  $$(x_1 - m)(x_2 - m) < 0$$

• 方程有两个根在 $(l, r)$ 之间：

  $$\Delta > 0, l < -\frac{b}{2a} < r, f(l)f(r) > 0$$

• 方程有两个根在 $[l, r]$ 之间：

  $$\Delta > 0, l < -\frac{b}{2a} < r, a \cdot f(l) \ge 0, a \cdot f(r) \ge 0$$

• 方程有两个根，一个在 $(l, r)$ 之间：

  $$\Delta > 0, f(l)f(r) < 0$$

• 方程有两个根，一个在 $[l, r]$ 之间：

  $$\Delta > 0, f(l)f(r) < 0$$

  或

  $$\Delta > 0, f(l) = 0, \frac{l+r}{2} < -\frac{b}{2a}$$

  或

  $$\Delta > 0, f(r) = 0, -\frac{b}{2a} < \frac{l+r}{2}$$

非对称韦达定理：求出 $x_1x_2$ 与 $x_1+x_2$ 的比值，带入其中一个求解。

泰勒展开

14 世纪，马德哈瓦最早使用了泰勒级数以及相关的方法。尽管他的数学著作没有流传下来，但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数，这些级数包括正弦、余弦、正切、和反正切三角函数等等。之后，喀拉拉学派在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近，这些工作一直持续到 16 世纪。到了 17 世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数。但是直到 1715 年，布鲁克·泰勒提出了一个通用的方法来构建适用于所有函数的此类列级数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。麦克劳林级数是泰勒级数的特例，是爱丁堡大学的科林·麦克劳林教授在 18 世纪发表的，并以其名字命名。

设 $n$ 是一个正整数，如果定义在一个包含 $a$ 的区间上的函数在 $a$ 点 $n+1$ 次可导，那么对于这个区间上的任意 $x$ 都有：

其中的多项式称为函数在 $a$ 处的泰勒展开式，剩余的 $R_n(x)$ 是泰勒展开式，是 $(x-a)^n$ 的高阶无穷小 $\mathrm{o}[(x-a)^n]$。

根据这些可以得到一些经典的不等式：

多项式插值

插值是一种通过已知的、离散的数据点推算一定范围内的新数据点的方法，分为线性插值和多项式插值。多项式插值的一般形式如下：对已知的 $n+1$ 的点 $(x_0,y_0),(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)$，求 $n$ 阶多项式 $f(x)$ 满足：

形式化来说，就是给定 $n$ 个纵坐标不同的点，求一个不超过 $n$ 次的多项式 $f(x)$，使其过这 $n$ 个点。

最简单的插值法就是拉格朗日插值法：尝试构造多项式 $f_i(x)$ 使得 $f_i(x)=[i=x_i]$，易得：

可得拉格朗日插值的形式为：

化简为：