解三角形

基本方法

基本原理

回忆初中平几，根据全等三角形的判断：

如果知道 ASA、AAS、SAS、SSS、HL 就可以唯一的确定一个三角形。

总结一下就是两个角全都可以，三个边可以，一个角两个边就需要是夹角。

即知道 $aCb$ 、 $cBa$ 、 $bAc$ ，才可以唯一确定一个两边一角的三角形。

至于 SSA，只有一个角是直角才可以唯一确定，不过这个就是 HL 了。

三角形确定，意味着我们可以求出所有边的长度以及所有角度的大小。

正弦定理、余弦定理就为我们提供了方法：可以利用角度和边长互相表示。

像这样，确定三角形边、角的过程，就是解三角形。

如何选择正弦定理、余弦定理？

遇到正弦选正弦定理，遇到齐次式考虑正弦定理。

遇到余弦选余弦定理，遇到边的二次齐次式考虑余弦定理。

原则：边角统一。

三角函数

在三角形中，

\global\let\vecc=\overrightarrow A+B+C=\pi

因此就有：

\begin{aligned} \sin A&=\sin(B+C)\\ \sin B&=\sin(A+C)\\ \sin C&=\sin{A+B} \end{aligned}

\begin{aligned} \cos A&=-\cos(B+C)\\ \cos B&=-\cos(A+C)\\ \cos C&=-\cos(A+B) \end{aligned}

\begin{aligned} \sin\dfrac{A}{2}&=\cos\left(\dfrac{B+C}{2}\right)\\ \sin\dfrac{B}{2}&=\cos\left(\dfrac{A+C}{2}\right)\\ \sin\dfrac{C}{2}&=\cos\left(\dfrac{A+B}{2}\right) \end{aligned}

\begin{aligned} \cos\dfrac{A}{2}&=\sin\left(\dfrac{B+C}{2}\right)\\ \cos\dfrac{B}{2}&=\sin\left(\dfrac{A+C}{2}\right)\\ \cos\dfrac{C}{2}&=\sin\left(\dfrac{A+B}{2}\right) \end{aligned}

在三角形中， $a=b\cos C+c\cos B$ 。

若 $\sin^2A+\sin^2B=\sin^2C$ ，则该三角形是以 $\angle C$ 为直角的 $\mathrm{Rt\triangle}$ 。

解三角形里面常用的奇怪三角函数：

\sin15^\circ=\cos75^\circ={\sqrt6-\sqrt2\over4}\\[0.5em] \sin75^\circ=\cos15^\circ={\sqrt6+\sqrt2\over4}

特殊的，如果 $\sin 2A=\sin 2B$ ，则有 $2A=2B$ 或 $2A+2B=\pi$ ，即 $A=B$ 或 $A+B=90^\circ$ ，即等腰或直角三角形。

平面几何法

利用平面几何定理，直接解决。

通常平面几何关注的是角与边的关系。

角，联系三角函数，倒角解决。

边，通常联系正余弦定理，以及一些特殊的定理。

建系法：将数据用坐标表示，详见解析几何。

如果直角三角形三边成等差数列，则变长一定为 $3,4,5$ 。

向量基底法

用向量基底分解，利用点乘的性质解决。

通常情况下，向量法是一个好用而简洁的方法。

算两次原理：用同一组基底，用不同方式表示一个向量，则系数一定相等。

三角形应用

基线：在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线。

仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角。

俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角。

方向角：从正北或正南方向到目标方向所形成的小于九十度的角。

方位角：从某点的指北方向线起依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。

三角法定理

正弦定理

回顾初中几何，三角形面积，

S={1\over2}ab\sin C={1\over2}bc\sin A={1\over2}ac\sin B

下面的证明过程只考虑锐角三角形，对于钝角三角形，结论不变。

做过 $\angle A$ 的垂线，则该垂线长度 $h$ ：

h=b\sin C=c\sin B

对每个角应用，最后可得，

{a\over\sin A}={b\over\sin B}={c\over\sin C}=k

做出该三角形的外接圆，过圆心做 $BC$ 的高，则，

a=2R\sin A,\,{a\over\sin A}=2R

即值 $k$ 为三角形外接圆直径 $2R$ 。

常常这么写：

a=2R\sin A,\,b=2R\sin B,\,c=2R\sin C\\ \sin A={a\over2R},\,\sin B={b\over2R},\,\sin C={c\over2R}

正弦定理推论：大边对大角，小边对小角。

余弦定理

在 $\triangle ABC$ 中，

\begin{array}{c} \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\\[0.5em] |\overrightarrow{AB}|^2=|\overrightarrow{CB}|^2+|\overrightarrow{CA}|^2-2|\overrightarrow{CB}|\cdot|\overrightarrow{CA}|\cdot\cos\theta\\[0.5em] c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta \end{array}

其中 $\theta$ 为 $c$ 的对角，即 $\angle C$ ；第二步就是两边平方。

常写作：

\cos A={b^2+c^2-a^2\over2bc},\,\cos B={a^2+c^2-b^2\over2ac},\,\cos C={a^2+b^2-c^2\over2ab}

推论：

\begin{aligned} a^2+b^2-c^2>0 &\Longrightarrow \cos C>0 \Longrightarrow C\in(0,\pi/2)\\ a^2+b^2-c^2=0 &\Longrightarrow \cos C=0 \Longrightarrow C=\pi/2\\ a^2+b^2-c^2<0 &\Longrightarrow \cos C<0 \Longrightarrow C\in(\pi/2,\pi) \end{aligned}

余切定理

\begin{aligned} \zeta&=\sqrt{{1\over p}(p-a)(p-b)(p-c)}\\ p&={a+b+c\over2} \end{aligned}

其中 $\zeta$ 为 $\triangle ABC$ 内切圆半径， $p$ 为三角形的半周长。

推论，一各三角形内切圆半径为，

R_内={2S\over a+b+c}

其中 $S$ 表示三角形面积， $a,b,c$ 分别表示三边长。

正切定理

正切定理指出，三角形中，两条边的和与差的比值，等于这两条边的对角的和与差的一半的正切的比值：

{a-b\over a+b}={\tan{\angle A-\angle B\over2}\over\tan{\angle A+\angle B\over2}}

三角形四心

编号	心的名称	定义
$X_1(I)$	内心	三条角平分线的交点
$X_2(G)$	重心	三条中线的交点
$X_3(O)$	外心	三条中垂线的交点
$X_4(H)$	垂心	三条高线的交点

奔驰定理

在锐角 $\triangle ABC$ 中，

S_{\triangle BOC}\cdot\overrightarrow{OA}+S_{\triangle AOC}\cdot\overrightarrow{OB}+S_{\triangle AOB}\cdot\overrightarrow{OC}=\vec0

推论：

设 $I$ 为内心，则 $a\cdot\overrightarrow{IA}+b\cdot\overrightarrow{IB}+c\cdot\overrightarrow{IC}=\vec0$ .
设 $H$ 为垂心，则 $\tan A\cdot\overrightarrow{HA}+\tan B\cdot\overrightarrow{HB}+\tan C\cdot\overrightarrow{HC}=\vec0$ .
设 $O$ 为外心，则 $\sin2A\cdot\overrightarrow{OA}+\sin2B\cdot\overrightarrow{OB}+\sin2C\cdot\overrightarrow{OC}=\vec0$ .

欧拉线定理

欧拉定理： $O,I$ 分别为外接圆、内切圆圆心，则有 $OI^2=R^2-2Rr$ .
欧拉线定理：三角形的外心 $O$ ，垂心 $H$ ，重心 $G$ 依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半，即

$$ \overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OH}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}) $$

极化恒等式

一般形式：

已知平面上非零向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ ，则 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \dfrac{1}{4}(|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2 - |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|^2)$ 。
在 $\triangle ABC$ 中，若 $M$ 是 $BC$ 的中点，则 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AM}|^2 - \dfrac{1}{4}|\overrightarrow{BC}|^2$ 。

在 $\triangle ABC$ 中，对于共起点的数量积 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ 的求解问题，我们首先想到的是找出 $BC$ 的中点 $M$ ，则

\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})

所以

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \left[\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\right]^2 - \dfrac{1}{4}|\overrightarrow{BC}|^2

化简整理便可得到如下结论：在 $\triangle ABC$ 中，

2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 - |\overrightarrow{BC}|^2

任何事物都是由特殊再到一般，我们研究平面几何问题更多的是在研究三角形，因为三角形是我们接触最多也是最熟悉的，然后由三角形再延伸到四边形问题。那么对于向量余弦式是否也可以延伸到四边形呢？我们知道四边形通过对角线是可以分割成三角形的，下面一起来探讨这个问题。在平面四边形 $ABCD$ 中，它可以由 $\triangle ABC$ 与 $\triangle ACD$ 组成，则在 $\triangle ABC$ 中，由向量余弦式可得

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac{|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 - |\overrightarrow{BC}|^2}{2}

那么在 $\triangle ACD$ 中，则向量余弦式可得

\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac{|\overrightarrow{AD}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 - |\overrightarrow{DC}|^2}{2}

两式相减可得

\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac{|\overrightarrow{AD}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 - |\overrightarrow{DC}|^2}{2} - \dfrac{|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 - |\overrightarrow{BC}|^2}{2}

整理后可得

\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = \dfrac{|\overrightarrow{AD}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2 - |\overrightarrow{AB}|^2 - |\overrightarrow{CD}|^2}{2}

这就得到了平面四边形的向量余弦式的形式。

在四边形 $ABCD$ 中，

\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = \dfrac{|\overrightarrow{AD}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2 - |\overrightarrow{AB}|^2 - |\overrightarrow{CD}|^2}{2}

这个结论也称之为对角线定理，它不仅仅可以在平面四边形中得到应用，还可以推广到空间四边形的情形。

分点的向量方程

特殊的，中点的向量方程：

\vecc{AD}=\dfrac12\vecc{AB}+\dfrac12\vecc{AC}

即对边比例相乘向量相加。

重心及其性质

重心：三角形三边中线交点，在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，也就是说对于平面内任意一点 $P$ ：

\vecc{PG}=\dfrac13\left(\vecc{PA}+\vecc{PB}+\vecc{PC}\right)

重心和三角形任意两个顶点组成的三个三角形面积相等，而重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

根据奔驰定理，有三角形重心到其各个顶点向量之和为零。

\vecc{GA}+\vecc{GB}+\vecc{GC}=\vec 0

特性：一个三角形的重心同时也是其中点三角形的重心，中位线证明。

根据是中线的性质，做 $AG$ 并延长交 $BC$ 于点 $H$ ，则：

\dfrac{AG}{GH}=\dfrac21

特殊的，重心到三边距离之积最大、到三角形三个顶点距离的平方和最小。

内心及其性质

内心为三角形内切圆圆心，因此为三个角的角平分线交点：

\vecc{AI}=\lambda\left(\dfrac{\vecc{AB}}{|\vecc{AB}}+\dfrac{\vecc{AC}}{|\vecc{AC}|}\right)

有奔驰定理的形式：

\sin A\cdot\vecc{IA}+\sin B\cdot\vecc{IB}+\sin C\cdot\vecc{IC}=\vec 0

三角形的内心到边的距离（即内切圆的半径）与三边长及面积之间有关系：

r_内=\dfrac{2S}{a+b+c}=\dfrac{2S}{C}

可以连接内心与三顶点，等面积法求解。

外心及其性质

外心为三角形外接圆圆心，因此为三边中垂线交点，不一定在三角形内部，到三角形三点距离相等。

\vecc{OA}^2=\vecc{OB}^2=\vecc{OC}^2

有奔驰定理的形式：

\sin2A\cdot\vecc{OA}+\sin2B\cdot\vecc{OB}+\sin2C\cdot\vecc{OC}=\vec 0

而，

R_外={abc\over4S}

当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部。
当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部。
当三角形为直角三角形时，外心在斜边的中点上。

锐角三角形外心到三边距离之和等于 $R+r$ 。

证明：等价于证

R(\cos A+\cos B+\cos C)=R+r

我们知道

\begin{aligned} S_{\Delta ABC}&=\frac{1}{2}(a+b+c)r\\ &=S_{\Delta OAB}+S_{\Delta OAC}+S_{\Delta OBC}\\ &=\frac{1}{2}R(a\cos A+b\cos B+c\cos C) \end{aligned}

联立上两式（相乘），直接展开易知等式成立。

垂心及其性质

垂心是三角形三边垂线的交点，因此有点积为零。

\vecc{HA}\cdot{BC}=\vecc{HB}\cdot\vecc{AC}=\vecc{HC}\cdot\vecc{AB}=0

两两整理，得到：

\vecc{HA}\cdot\vecc{HB}=\vecc{HB}\cdot\vecc{HC}=\vecc{HC}\cdot\vecc{HA}

有奔驰定理的形式：

\tan A\cdot\vecc{HA}+\tan B\cdot\vecc{HB}+\tan C\cdot\vecc{HC}=\vec 0

而垂心到三角形一顶点距离等于此三角形外心到此顶点对边距离的 $2$ 倍。

三角形外心 $O$ 、重心 $G$ 、垂心 $H$ 三点共线且 $OG:GH=1:2$ 此直线称为三角形的欧拉线。

三角形三线

中线长定理

在 $\triangle ABC$ 中， $BC$ 的中点为 $M$ ，对于中线 $AM$ ，有：

AM^2={1\over2}b^2+{1\over2}c^2-{1\over4}a^2

或，

AM^2+BM^2={1\over2}(AC^2+AB^2)

或，

AM={1\over2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}

证明，基底分解：

\overrightarrow{AM}={1\over2}\overrightarrow{AB}+{1\over2}\overrightarrow{AC}\\[0.5em] \overrightarrow{BM}={1\over2}\overrightarrow{AC}-{1\over2}\overrightarrow{AB}

则，

|\overrightarrow{AM}|^2+|\overrightarrow{BM}|^2={1\over2}|\overrightarrow{AB}|^2+{1\over2}|\overrightarrow{AC}|^2

或者中点两个底角分别列余弦定理，相加化简。

分角定理

在 $\triangle ABC$ 中， $BC$ 上有一点 $M$ ，则：

{BM\over CM}={AB\sin\angle BAM\over AC\sin\angle CAM}

证明，左右两边等面积法：

{BM\over CM}={S_{\triangle ABM}\over S_{\triangle ACM}}={AB\cdot AM\sin\angle BAM\over AC\cdot AM\sin\angle CAM}={AB\sin\angle BAM\over AC\sin\angle CAM}

或正弦定理：

{BM\over\sin\angle BAM}={AB\over\sin\angle AMB}\\[0.5em] {CM\over\sin\angle CAM}={AC\over\sin\angle AMC}

上下做比。

角平分线定理

在 $\triangle ABC$ 中， $\angle A$ 的平分线 $AM$ ，有：

{BM\over CM}={AB\over AC}

是分角定理的直接推论。

角平分线长定理

\begin{aligned} AD&=\sqrt{AB\cdot AC-BD\cdot CD}\\ &=\sqrt{bc\left(1-{a^2\over(b+c)^2}\right)}\\ &={2bc\over b+c}\cos{A\over2} \end{aligned}

边长公式

射影定理

射影定理表示为：

a=b\cos C+c\cos B

在初中我们学习过影高乘积等于树高平方的射影定理。

在 $\triangle ABC$ 中 $BC$ 上的高为 $AD$ ，则：

AB^2=BD\cdot BC

AD^2=BD\cdot CD

AC^2=BC\cdot CD

斯图尔特定理

又译斯台沃特定理，在 $\triangle ABC$ 边 $BC$ 上任意一点 $D$ ，

AB^2\cdot CD+AC^2\cdot BD-AD^2\cdot BC=BD\cdot CD\cdot BC

可以由两次余弦定理推导得出。

平行四边形恒等式

AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=AC^2+BD^2

对于一般的四边形，等式不成立，但是有不等式：

AB^2+BC^2+CD^2+AD^2\ge AC^2+BD^2

或者设 $x$ 表示两条对角线中点所连线段的长度：

AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=AC^2+BD^2+4x^2

注意到平行四边形对角线互相平分，即 $x=0$ ，可得上面的第一个恒等式。

边元塞瓦定理

其逆定理用于表示三角形内三点共线，角元塞瓦定理较为复杂。

梅涅劳斯定理

一直线与 $\triangle ABC$ 的三边 $AB,BC,AC$ 或他们的延长线分别交于 $X,Y,Z$ 三点，则：

\dfrac{AX}{XB}\cdot\dfrac{BY}{YC}\cdot\dfrac{CZ}{ZA}=0

梅涅劳斯定理的逆定理表示为，满足上述式子，则 $X,Y,Z$ 三点共线。

面积公式

海伦公式

任意三角形面积可以表示为：

\begin{aligned} S&=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\\ p&={a+b+c\over2} \end{aligned}

即：

S=\dfrac14\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}

其中 $p$ 为三角形的半周长。

布雷特施奈德公式

任意四边形面积可以表示为：

\begin{aligned} S&=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2{\alpha+\beta\over2}}\\ p&={a+b+c+d\over2} \end{aligned}

其中 $p$ 为四边形的半周长， $\alpha,\beta$ 为其中二个对角。

布雷特施奈德公式可视为婆罗摩笈多公式之推广。

婆罗摩笈多公式

注意到圆内接四边形对角互补，其半角余弦值为零， $\cos90^\circ=0$ 则圆内接四边形面积可以简化为：

\begin{aligned} S&=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}\\ p&={a+b+c+d\over2} \end{aligned}

其中 $p$ 为四边形的半周长。

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