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动量与碰撞

简单模型

人船模型

  1. 动量守恒

    注意这里的加号是矢量相加：

    0=m1v1+m2v20=m_1\bm{v}_1+m_2\bm{v}_2

  2. 位移关系

    可以用平均动量乘时间推出来（其中 xx 为某一方向上的位移）：

    m1x1=m2x2x1+x2=x\begin{aligned} m_1x_1&=m_2x_2\\ x_1+x_2&=x \end{aligned}

  3. 现象：人动船动，人停船停。

  4. 推论

    x1=m2xm1+m2x2=m1xm1+m2\begin{aligned} x_1&=\frac{m_2x}{m_1+m_2}\\ x_2&=\frac{m_1x}{m_1+m_2} \end{aligned}

爆炸模型

人船模型的一种，但是人船模型一般问位移，爆炸模型一般问速度。

0=m1v1+m2v20=m_1v_1+m_2v_2
E增=12m1v12+12m2v22E_增=\dfrac12m_1v_1^2+\dfrac12m_2v_2^2

动量守恒，能量（动能）增加；能量来源：重力势能、弹性势能、化学能（爆炸）。

常配合功动能定理列方程解动能增加量。

凹槽模型

质量为 m=2kgm=2\mathrm{kg} 的小球，从 AA 点以初速度 v0=6m/sv_0=6\mathrm{m/s} 向右运动，小车质量 M=4kgM=4\mathrm{kg}：

题图

问：小球运动到点 BB 后，能达到的最大高度是多少（水平共速模型）。

小球相对小车向上运动，水平方向上没有相对运动，即水平共速，小球做斜抛运动。

mv0=(m+M)vfmv_0=(m+M)v_f

即质心速度，

vf=v0⋅mm+M=2m/sv_f=v_0\cdot\frac{m}{m+M}=2\mathrm{m/s}

损失的动能：

E损=12mv02−12(m+M)vf2=24(J)E_{\text{损}}=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}(m+M)v_f^2=24(\mathrm{J})

损失的动能全部转化为重力势能：

E损=Ep=mgh=20hE_{\text{损}}=E_p=mgh=20h

解得 h=1.2mh=1.2\mathrm{m}。

问：当小球返回 AA 时，小球和小车的速度分别是多少（弹性模型）。

根据质心速度结论：

{v1=2vf−v0=−2(m/s)v2=2vf=4(m/s)\left\{\begin{aligned} v_1&=2v_f-v_0=-2(\mathrm{m/s})\\ v_2&=2v_f=4(\mathrm{m/s}) \end{aligned}\right.

问：若水平轨道粗糙且长度为 2m2\mathrm m，小球回到远处后自由落体，问水平轨道的摩擦因数。

根据动量守恒定律：

mv0=Mv1mv_0=Mv_1

解得 v1=3m/sv_1=3\mathrm{m/s}。

求出动能：

E0=12mv02=36(J)Et=12Mv12=18(J)\begin{aligned} E_0&=\frac{1}{2}mv_0^2=36(\mathrm{J})\\ E_t&=\frac{1}{2}Mv_1^2=18(\mathrm{J}) \end{aligned}

根据发热公式：

Q=E0−Et=18(J)Q=fΔs=μmg(L+R)\begin{aligned} Q&=E_0-E_t=18(\mathrm{J})\\ Q&=f\Delta s=\mu mg(L+R) \end{aligned}

解得 μ=0.225\mu=0.225。

碰撞模型

这里只讨论垂直碰撞，不讨论斜碰撞。

碰撞在物理学中表现为两粒子或物体间极短的相互作用。

碰撞前后参与物发生速度，动量或能量改变。

由能量转移的方式区分为弹性碰撞和非弹性碰撞。

碰撞的研究可以追溯到惠更斯的《论物体的碰撞运动》（研究成果在其死后发表于），他研究了完全弹性碰撞，证明了碰撞前后能量和动量的守恒。

惠更斯碰撞实验

二次碰撞：如果一个物体回复时速度比前面的物体大，则会二次碰撞。

下面我们详细讲解碰撞模型。

碰撞模型的一般流程：先列动量守恒，如果解不出来，则判断是否为弹性碰撞，写能量守恒。

弹性碰撞

弹性碰撞是碰撞前后整个系统的动能不变的碰撞。

弹性碰撞的必要条件是动能没有转成其他形式的能量（变形或发热）。

理想弹性碰撞在宏观上是一个物理模型，由于摩擦和其他因素的存在，系统总会损失动能。

一般形式

  • 动能守恒：
12m1v12+12m2v22=12m1v1′2+12m2v2′2\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}m_1v_1'^2+\frac{1}{2}m_2v_2'^2
  • 动量守恒：
m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′m_1\bm{v}_1+m_2\bm{v}_2=m_1\bm{v}_1'+m_2\bm{v}_2'

做题方法

由动量守恒、动能守恒：

{m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′12m1v12+12m2v22=12m1v1′2+12m2v2′2\left\{\begin{aligned} m_1v_1+m_2v_2&=m_1v_1'+m_2v_2'\\ \frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2&=\frac{1}{2}m_1v_1'^2+\frac{1}{2}m_2v_2'^2 \end{aligned}\right.

化简，得：

{m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′v1+v1′=v2+v2′\left\{\begin{aligned} m_1v_1+m_2v_2&=m_1v_1'+m_2v_2'\\ v_1+v_1'&=v_2+v_2' \end{aligned}\right.

解得：

{v1′=v1(m1−m2)+2m2v2m1+m2v2′=v2(m2−m1)+2m1v1m1+m2\left\{\begin{aligned} v_1'&=\frac{v_1(m_1-m_2)+2m_2v_2}{m_1+m_2}\\ v_2'&=\frac{v_2(m_2-m_1)+2m_1v_1}{m_1+m_2} \end{aligned}\right.

PS：下面的式子不用记，直接用上面的方程组解即可。

模型总结

动撞静：

  • 使用二元组表示，即 (v1,m1)(v_1,m_1) 撞 (0,m2)(0,m_2)：

    {v1′=v1(m1−m2)m1+m2v2′=2m1v1m1+m2\left\{\begin{aligned} v_1'&=\frac{v_1(m_1-m_2)}{m_1+m_2}\\ v_2'&=\frac{2m_1v_1}{m_1+m_2} \end{aligned}\right.

    注意到 v2′v_2' 永远是正的，但是 v1′v_1' 可能是负的。

  • 具体的，如果 m1<m2m_1<m_2，v1′<0v_1'<0，即物体反向。

  • 特殊的，如果 m2→∞m_2\to\infty，则 v1′→−v1v_1'\to -v_1，v2′→0v_2'\to0，类比到小球撞墙。

等重碰撞：

  • 即 (v1,m)(v_1,m) 撞 (v2,m)(v_2,m)。易得 v1′=v2v_1'=v_2，v2′=v1v_2'=v_1，即交换速度。

经典的性质如下：

  • 守恒性质：

    • 质心的速度不变。
    • 物件在碰撞前后的平均动量相同。

  • 速度性质：

    • 两个碰撞物的质量相同，则两者速度互换。
    • 一物碰撞一个质量远小于其的另一物，前者的速度几乎不变，后者以近乎其两倍速度弹出。
    • 一物碰撞一个质量远大于其的另一物，前者的以近乎原速率反弹，后者几乎不动。

十字交叉法

质心的速度不变，可以列出初、末速度和质心速度 vfv_f 的关系：

{v1+v1′=2vfv2+v2′=2vf\left\{\begin{aligned} v_1+v_1'&=2v_f\\ v_2+v_2'&=2v_f \end{aligned}\right.

考虑求质心速度，等价于两物体撞到共速的速度 vfv_f：

m1v1+m2v2=(m1+m2)vfvf=m1v1+m2v2m1+m2\begin{aligned} m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v_f\\ v_f=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2} \end{aligned}

那么就有：

{v1′=2⋅m1v1+m2v2m1+m2−v1v2′=2⋅m1v1+m2v2m1+m2−v2\left\{\begin{aligned} v_1'&=2\cdot\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}-v_1\\ v_2'&=2\cdot\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}-v_2 \end{aligned}\right.

不要化简。

因为如果你化简了，你就会发现这个式子完全等价于上面那个奇奇怪怪的式子。

非弹性碰撞

非弹性碰撞是碰撞后整个系统的部分动能转换成至少其中一碰撞物的内能。

在碰撞中一部分动能转化为其他形式的能量（变形或发热），该碰撞称为「非弹性的」。

使整个系统的动能无法守恒，但它们仍遵守动量守恒定律的一类碰撞。

一般形式

  • 动能不守恒：
12m1v12+12m2v22≥12m1v1′2+12m2v2′2\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2\ge\frac{1}{2}m_1v_1'^2+\frac{1}{2}m_2v_2'^2
  • 动量守恒：
m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′m_1\bm{v}_1+m_2\bm{v}_2=m_1\bm{v}_1'+m_2\bm{v}_2'

做题方法

由于朴素的非弹性碰撞只有动量守恒，因此你也只能列这一个。

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'

此时可以问在碰撞中损耗的能量是多少：

E损=Ek0−Ekt=(12m1v12+12m2v22)−(12m1v1′2+12m2v2′2)\begin{aligned} E_{\text{损}}&=E_{k0}-E_{kt}\\ &=\left(\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2\right)\\ &-\left(\frac{1}{2}m_1v_1'^2+\frac{1}{2}m_2v_2'^2\right) \end{aligned}

因为，注意到在小球中，有用的能量只有动能。

完全非弹性碰撞

两个物体在碰撞后黏贴在一起，没有任何弹跳运动，则为完全非弹性碰撞。

完全非弹性碰撞损失的系统总动能，等于非弹性碰撞，大于弹性碰撞。

一般形式

非完全弹性碰撞后两物体速度相同，设为 vfv_f，可以列出动量守恒：

m1v1+m2v2=(m1+m2)vfm_1\bm{v}_1+m_2\bm{v}_2=(m_1+m_2)\bm{v}_f

即：

vf=m1v1+m2v2m1+m2v_f=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}

此时，动能的损失量最大：

E损=12m1v12+12m2v22−12(m1+m2)vf2E_损=\dfrac12m_1v_1^2+\dfrac12m_2v_2^2-\dfrac12(m_1+m_2)v_f^2

做题方法

非完全弹性碰撞的条件就是撞到共速，一般会表述为黏在一起、无相对运动。

没了。再难的作者也不会了。

实际碰撞

恢复系数

恢复系数是衡量两个物体在碰撞后的反弹程度。

恢复系数通常在 00 与 11 之间，但是不是一定，我们记为 CrC_r：

  • Cr=1C_r=1，则此碰撞为弹性碰撞；
  • 0≤Cr<10\le C_r<1，则此碰撞为非弹性碰撞；
  • Cr=0C_r=0，则此碰撞为完全非弹性碰撞，两个物体黏贴在一起。
  • Cr>1C_r>1，表示产生动能的碰撞。例如，当两个地雷碰撞引起爆炸。
  • Cr<0C_r<0，表示其中一个物体会超过另外一个物体。例如，子弹穿过弹靶。

恢复系数是两个物体相互碰撞的特性，而不是单独物体的属性。

其中，恢复系数有公式：

Cr=v1′−v2′v2−v1=v2′−v1′v1−v2C_r=\frac{v_1'-v_2'}{v_2-v_1}=\frac{v_2'-v_1'}{v_1-v_2}

于是，我们可以根据一次碰撞，求出两物体（材质）的恢复系数，再带入计算另一次碰撞。

实际碰撞解题

两个物体间的实际碰撞是参考理想弹性碰撞和理想非弹性碰撞的混合模型来表述的。

这个混合模型可以通过恢复系数 CrC_r 来表示，其中 CrC_r 是物体（材质）的特性。

作为系统只考虑其中之一，所以并不考虑动能守恒，否则系统就改变了其状态。

如果不考虑穿过物体的碰撞（穿墙），以及产生动能的碰撞（爆炸）：

  • 动量守恒：

    m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′m_1\bm{v}_1+m_2\bm{v}_2=m_1\bm{v}_1'+m_2\bm{v}_2'

  • 同向相撞，后面的球的速度大于前面的球：

  • 后面的球的速度在碰撞之后一定减小。

  • 末状态动能不大于初状态动能。

取值范围问题

依旧不考虑穿过物体的碰撞（穿墙），以及产生动能的碰撞（爆炸）。

  1. 速度的取值范围：[[ 共速速度 ,, 弹性碰撞速度 ]]，两边可以取等号。

    适用情况：没有给出任何末状态信息。

    注意问的是速度大小的最大、最小值，要看绝对值。

  2. 损失能量的范围：[0,[0, 完全非弹性碰撞损失的能量 ]]，两边可以取等号。

  3. 质量未知的动量变化范围：极限法，后物体撞前物体，

    1. 前物体质量极大速度极小，后物体近似原速返回，动量变化量为 −2p1-2p_1。

    2. 前物体和后物体速度接近，后物体近似速度不变，动量变化量为 00。

    故后物体动量变化范围为 (−2p1,0)(-2p_1,0)，不能取等号。

流体模型

动量定理

判断标准：出现密度、面积等特定关键词。

关键字眼：水、空气、光子等一群运动的粒子。

解题思路：

列出动能定理，

Ft=mv−mv0Ft=mv-mv_0

发现我们不知道 mm 和 tt，考虑进行处理，我们发现这里的质量只是打在接触面上的质量：

m=ρV=ρShm=\rho V=\rho Sh

然后进行化简：

F=ρSht(v−v0)=ρSv(v−v0)F=\rho S{h\over t}(v-v_0)=\rho Sv(v-v_0)

其中，vv 是打在墙面上时的流体速度，v0v_0 为流体的初速度。

代数，ρ\rho 为流体密度，SS 为打在墙面上的接触面积，FF 为墙面受到的平均压力。

其中，后半边式子成立的前提是粒子均匀密布在接触面上，如风和水管。

对于下雨一类的，需要带前半边的式子，用 hh 表示 tt 时间内的余量（积水高度）。

流和流量

一段时间内流经截面的某种物理量的总量就叫做流量。

流量是时间 tt 的函数，流是流量关于时间的导数，流量是流在某段时间的定积分，反之。

单位时间流经某个截面的某种物理量叫流。

最常见的例子是电流，即单位时间流经某截面的电荷量，用极限定义为：

I=lim⁡Δt→0ΔqΔtI=\lim_{\Delta t\to0}{\Delta q\over\Delta t}

或者用下文流密度定义，

I=∫j(r,t) dsI=\int\bm j(\bm r,t)\,\mathrm d\bm s

把电荷 qq 替换成其他物理量如质量、能量、粒子数，分别得到质量流、能流、粒子流。

能流密度

流密度可以用于描述某时刻流体在的空间流动的速率。

以水流为例，在一条河流或管道中，某时刻 tt 在空间中任意一点 r\bm r 处，都对应一个水流速度 v\bm v，如果我们在该点放置一个与速度垂直的微小截面（通常叫面元），令其面积为 ΔS\Delta S，在一段微小时间 Δt\Delta t 内流经截面的质量为 Δm\Delta m，那么质量流密度可以用极限定义为，

j(r,t)=n^lim⁡ΔS,Δt→0ΔmΔSΔt\bm j(\bm r,t)=\hat{\bm n}\lim_{\Delta S,\Delta t\to0}{\Delta m\over \Delta S\Delta t}

其中 n^\hat{\bm n} 表示面元正方向法向量或者面元处流体的速度方向。

或者，

j(r,t)=ρ(r,t)v(r,t)ρ(r,t)=lim⁡ΔV→0ΔmΔV\bm j(\bm r,t)=\rho(\bm r,t)\bm v(\bm r,t)\\ \rho(\bm r,t)=\lim_{\Delta V\to0}{\Delta m\over\Delta V}

注意到，

ΔV=ΔS⋅vΔt\Delta V=\Delta S\cdot v\Delta t

因此，上式 (1)(2)(1)(2) 其实是等价的。

流密度是一个关于位置的矢量函数，即矢量场。其中，质量可以替换为不同的物理量，若替换为能量则称为能流密度，若是粒子数则称为粒子流密度，若是电荷量则称为电流密度，等等。

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