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动力学模型

动力学模型

晾衣绳模型

等腰三角形、晾衣杆问题，特征为动滑轮通过刚性轻绳固定，有公式：

F=G2cos⁡θF=\dfrac{G}{2\cos\theta}

特征；FF 仅与 θ\theta 有关，上下移动绳子端点力不变，端点水平靠近拉力下降、远离拉力上升。

物体的平衡可以分为稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡三种。

弹簧突变

因为弹簧的弹力无法突变，因此我们：

  1. 受力分析初状态，得出弹簧弹力。

  2. 把弹簧弹力当做外力，重新受力分析。

沿绳方向速度、受力大小一定相等。

斜面模型

斜面模型「物体是否会下滑」，设斜面与水平面夹角为 θ\theta：

受力分析，得 Gx=mgsin⁡θG_x=mg\sin\theta，f=μmgcos⁡θf=\mu mg\cos\theta。

  • 若物体下滑：Gx>f⇒Gx/f>1⇒tan⁡θ/μ>1⇒tan⁡θ>μG_x>f \Rightarrow G_x/f>1 \Rightarrow \tan\theta/\mu>1 \Rightarrow \tan\theta>\mu。
  • 同理，若物体静止不动，Gx≤f⇒tan⁡θ≤μG_x\le f \Rightarrow \tan\theta\le\mu。

即，若 tan⁡θ>μ\tan\theta>\mu，物体会下滑。

同时也可以根据此探究动摩擦因数 μ=arctan⁡θ\mu=\arctan\theta。

直角劈模型

注意物体的位置应该在惯性系中表示，否则应用牛顿定律会产生麻烦。

根据已知常量列出方程，例如绳长不变，绳子切面速度相同，以及对应的加速度关系。

典例是直角劈模型，有 θ\theta 角度的直角劈，一木块放在上面，则：

直角劈模型

其中 VV 和 AA 为劈的速度和加速度，xx 为木块相对参考系的水平位移，XX 为木块相对参考系的水平位移，(h−y)(h-y) 为木块滑下的竖直高度：

(x−X)=(h−y)cot⁡θvx−V=−vycot⁡θax−A=−aycot⁡θ\begin{aligned} (x-X)=(h-y)\cot\theta\\ v_x-V=-v_y\cot\theta\\ a_x-A=-a_y\cot\theta \end{aligned}

上式从上到下，实为对方程两边做一次时间变化率，常数项忽略，常数系数不变。

注意：约束方程与作用力无关，各接触面有无摩擦不影响约束方程。

狭义连接体模型

整体法可求得加速度。

隔离法可求得压力／绳子拉力，也可以整体一部分物体。

如果绳子是弯的，那么直接两次隔离把力约掉算加速度。

可以得出，绳子拉力与斜面夹角、摩擦因数均无关：

T=m1m1+m2FT=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}F

这个公式可以成为连接体的质量分配原则，其中 11 是绳子没有直接拉着的那个物体。

推广：如果两个物体两侧分别拉着（F1F_1 拉质量为 m1m_1 的物体，F2F_2 对于 m2m_2）：

T=F1m2+F2m1m1+m2T=\dfrac{F_1m_2+F_2m_1}{m_1+m_2}

即总是一个力乘上没有直接连接的物体。

等时圆模型

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质点自半径为 RR 的空心球（对于平面而言是圆环）的最高点由静止开始无摩擦地沿任一弦下滑至球面（或圆环），所需时间相等，且等于：

4Rg\sqrt{\dfrac{4R}{g}}

证明：

设下滑的弦与法线的夹角为 β\beta，则弦长：

l=2Rcos⁡βl=2R\cos\beta

沿弦方向加速度为：

a=gcos⁡βa=g\cos\beta

列运动学方程：

l=12at22Rcos⁡β=12(gcos⁡β)t2\begin{aligned} l&=\dfrac{1}{2}at^2\\ 2R\cos\beta&=\dfrac{1}{2}(g\cos\beta)t^2 \end{aligned}

易得 tt 与 β\beta 无关，且：

t=4Rgt=\sqrt{\dfrac{4R}{g}}

经典例题：

一小球从角度为 α\alpha 的斜面上某一点的上方 ll 处沿某一直线无摩擦的滑下，问落到斜面上的最短时间。

由上面的结论，最佳下落线与法线的夹角 θ=α/2\theta=\alpha/2。

易知，该圆的直径（QQ 为圆与斜面的切点，HH 为最高点到斜面的垂足）：

2R=OQcos⁡θ=OHcos⁡2θ=lcos⁡αcos⁡2(α/2)2R=\dfrac{OQ}{\cos\theta}=\dfrac{OH}{\cos^2\theta}=\dfrac{l\cos\alpha}{\cos^2(\alpha/2)}

则：

R=lcos⁡α1+cos⁡αR=\dfrac{l\cos\alpha}{1+\cos\alpha}

则最短时间：

t=4Rg=2lcos⁡αg(1+cos⁡α)t=\sqrt{\dfrac{4R}{g}}=2\sqrt{\dfrac{l\cos\alpha}{g(1+\cos\alpha)}}

等时圆的构造：

设定一点为最高点或最低点即可，根据几何关系得到距离圆心的距离。

最速降线问题

在平面内，BB 点在 AA 右下，自 AA 静止释放一个小球，运动到 BB 点的最短时间。

最速降线

伯努利（哥哥和弟弟分别）证明了最速降线是一条摆线。

传送带和板块模型

方法总结

例题1：质量为 2kg2\text{kg} 的物体沿光滑斜面下滑，斜面与水平面的夹角为 37∘37^\circ，求木块的加速度。

列式：

{Fr=maFr=Gsin⁡37∘G=mgm=2kg\begin{cases} F_r&=ma\\ F_r&=G\sin37^\circ\\ G&=mg\\ m&=2\text{kg} \end{cases}

解得：

{m=2kgG=20NFr=12Na=6m/s2\begin{cases} m&=2&\text{kg}\\ G&=20&\text{N}\\ F_r&=12&\text{N}\\ a&=6&\text{m/s}^2\\ \end{cases}

所以，加速度为 6m/s26\text{m/s}^2，方向沿斜面向下。

例题2：质量为 2kg2\text{kg} 的物体沿斜面下滑，斜面的摩擦因数为 0.20.2，斜面与水平面的夹角为 37∘37^\circ，求木块的加速度。

列式：

{Fr=maFr=Gsin⁡37∘−ff=μNN=Gcos⁡37∘G=mgm=2kg\begin{cases} F_r&=ma\\ F_r&=G\sin37^\circ-f\\ f&=\mu N\\ N&=G\cos37^\circ\\ G&=mg\\ m&=2\text{kg} \end{cases}

解得：

{m=2kgG=20NN=16Nf=3.2NFr=8.8Na=4.4m/s2\begin{cases} m&=2&\text{kg}\\ G&=20&\text{N}\\ N&=16&\text{N}\\ f&=3.2&\text{N}\\ F_r&=8.8&\text{N}\\ a&=4.4&\text{m/s}^2\\ \end{cases}

所以，加速度为 4.4m/s24.4\text{m/s}^2，方向沿斜面向下。

例题3：质量为 2kg2\text{kg} 的物体静止于水平面的 AA 处，ABAB 间距 L=20mL=20\text{m}，如图：

□□‾⋅⋅AB\begin{matrix} \underline{\kern{1em}\Box\kern{7em}\Box\kern{1em}}\\[-0.8em] \cdot\kern{7.5em}\cdot\\[-0.4em] {\small{A}}\kern{7em}{\small{B}} \end{matrix}

现用大小为 30N30\text{N} 的力，沿水平方向拉物体，2s2\text{s} 后到达 BB 处。

求物体与地面的摩擦因数 μ\mu。

解：

对物体 AA 受力分析：

{Fr=F−fN=G\begin{cases} F_r&=F-f\\ N&=G \end{cases}

展开：

{ma=F−μNN=mg\begin{cases} ma&=F-\mu N\\ N&=mg \end{cases}

得到方程组：

{x=12at2ma=F−μmg\begin{cases} x&=\dfrac{1}{2}at^2\\ ma&=F-\mu mg \end{cases}

代数，得：

{20m=12a⋅(2s)22kg⋅a=30N−μ⋅20N\begin{cases} 20\text{m}&=\dfrac{1}{2}a\cdot(2\text{s})^2\\ 2\text{kg}\cdot a&=30\text{N}-\mu\cdot20\text{N} \end{cases}

解得：

{a=10m/s2μ=0.5\begin{cases} a&=10\text{m/s}^2\\ \mu&=0.5 \end{cases}

即 μ=0.5\mu=0.5。

传送带模型

加速度：

a=gsin⁡θ±μgcos⁡θa=g\sin\theta\pm\mu g\cos\theta

表示重力下滑分量和滑动摩擦力的作用。

假设可以共速静止，比较 tan⁡θ\tan\theta 和 μ\mu。

判断共速时的位与和传送带长度之间的关系。

善用 v−tv-t 图像。

一板一物模型

地面光滑：

  • 木板有初速度。

  • 木板无初速度。

地面不光滑：

  • 木板有初速度。

  • 木板无初速度。

详见课件内容。

叠加体相对静止

广义连接体，指不用绳子连接的连接体，常见的有用静摩擦力、刚体弹力提供的。

叠加体相对静止，可以看为是由摩擦力提供拉力的连接体模型，因此下面的步骤也非常相似。

整体法可求得加速度。

隔离法可求得摩擦力，也可以整体一部分物体。

可以得出，摩擦力与斜面夹角无关，与摩擦因数有关：

f=m1m1+m2F−μmgcos⁡θf=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}F-\mu mg\cos\theta

若斜面是水平面（θ=0\theta=0），那么 cos⁡θ=1\cos\theta=1：

f=m1m1+m2F−μmgf=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}F-\mu mg

同样也类似质量分配原则，其中 11 是力没有直接作用在的那个物体。

叠加体相对滑动

  1. 找到不受外力的物体，即可能会发生相对滑动的物体，
  2. 隔离法，求出这个物体的最大加速度，
  3. 整体法，求出最大的外力大小。

形式一：拉着下面的 MM 走，其上表面 μ1\mu_1、下表面 μ2\mu_2：

F=(m+M)(μ1+μ2+tan⁡θ)g⋅cos⁡θF=(m+M)(\mu_1+\mu_2+\tan\theta)g\cdot\cos\theta

若斜面是水平面（θ=0\theta=0），那么 cos⁡θ=1,tan⁡θ=0\cos\theta=1,\tan\theta=0：

F=(m+M)(μ1+μ2)gF=(m+M)(\mu_1+\mu_2)g

形式二：拉着上面的 mm 走，其下 MM 上表面 μ1\mu_1、下表面 μ2\mu_2：

F=mM(m+M)(μ1−μ2)g⋅cos⁡θF=\dfrac{m}{M}(m+M)(\mu_1-\mu_2)g\cdot\cos\theta

若斜面是水平面（θ=0\theta=0），那么 cos⁡θ=1\cos\theta=1：

F=mM(m+M)(μ1−μ2)gF=\dfrac{m}{M}(m+M)(\mu_1-\mu_2)g

注意此形式下，需要上物体能拉动下物体，拉不动的话就更简单了。

启动模型

解题方法

对（物体），做（运动段），如图（受力分析），列（平衡／牛二）。

F合=ma=F−fF=Pv\begin{aligned} F_{\text{合}}=ma&=F-f\\ F&=\frac{P}{v} \end{aligned}

得出（一定要受力分析）：

F=f+mama=Pv−f\begin{aligned} F&=f+ma\\ ma&=\frac{P}{v}-f \end{aligned}

恒定功率启动

随着汽车的加速，

  1. vv 增大，PP 不变，FF 减小，FrF_r 减小；
  2. mm 不变，aa 减小，vv 变化放缓。
  3. 直至 F=fF=f，汽车匀速运动。

即汽车加速到一定程度后，汽车将保持匀速运动。

恒定加速度启动

按照时间顺序：

  1. aa 不变，mm 不变，ff 不变，FF 不变；
  2. vv 增大，PP 增大，汽车持续增速；
  3. 汽车增速到一定程度后，PP 无法继续增大：
  4. 此时 PP 恒定，故进行恒定功率启动式的加速。

做题思路

  1. 对匀速运动状态分析：平衡 F=fF=f；
  2. 对匀加速末状态分析：牛二 ma=P/v−fma=P/v-f；
  3. 对加速阶段状态分析：牛二 ma=P/v−fma=P/v-f。

F-1/v 图像

按照时间，从右往左，因为汽车速度增大，倒数减小。

  • 牵引力为水平直线的：匀加速运动。
  • 牵引力逐渐下降的：加速度逐渐减小。
  • 牵引力端点位置：最终状态匀速直线运动。

做题方法：同上，一定要分析的是拐点和端点处的受力分析。

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