圆周运动

圆周运动相关定义

物理量

线速度：单位时间通过的弧长， $v(\mathrm{m/s})$ ；
角速度：单位时间通过的角度， $\omega(\mathrm{rad/s})$ ；
周期：完成一次的时间， $T(\mathrm{s})$ ；
频率：单位时间完成的次数： $f(\mathrm{s^{-1},Hz})$ ；
转速：单位时间完成的圈数： $n(\mathrm{r/s})$ 。

匀速圆周运动

T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi}{\omega}

推导出来：

v=\omega r

即速度（ $v$ ）在（ $=$ ）绕（ $r$ ）弯（ $\omega$ ）。

f=n=\dfrac{1}{T}

向心力和向心加速度

向心力：

F_c=\dfrac{mv^2}{r}=m\omega^2r=mv\omega

向心加速度：

a_c=\dfrac{v^2}{r}=\omega^2r=v\omega

圆周运动解题思路

列表法

对于匀速圆周运动多个圈的题目，列表：

\begin{array}{|c|l|l|l}\hline &P_c&Q_c&\dots\\\hline \bm r\\\hline \bm \omega\\\hline \bm v\\\hline \bm a\\\hline \end{array}

上面对应的就是几个圆周，从上到下填表。

填表的时候常用公式 $a=v\omega$ 。

如果是求比例，那么设 $\omega$ 相同的点为单位 $1$ 。

关联速度

现象：传送带上，各处线速度相同；同一物体，各处角速度相同。

现象：沿绳沿杆速度大小相同，力相同，垂直于接触面方向速度相同。

解决方法：

判断合运动方向；
分解合运动到沿绳沿杆方向；
根据速度分量列等式。

牛二思路

切线方向，列平衡式子，注意这个式子一定要列，下面可能会用到；

向心方向，列 $F_合=F_向 $（匀速），其中合外力通过受力分析找，$ r$ 要找。

常有模型：圆锥摆。

圆锥摆模型

基础圆锥摆模型

指向圆心和竖直方向建系，列出两个方向上的牛二方程：

\begin{aligned} F_合=T\sin\theta\\ T\cos\theta=mg \end{aligned}

其中 $\theta$ 为绳子和竖直方向的夹角。

列出合外力等于向心力：

F_合=m\omega^2r

计算得到：

\omega=\sqrt{\dfrac{g}{L\cos\theta}}

同角不同面模型

物体和法线的夹角相同，但是不同水平面，如右图所示。

假设接触面光滑：

\begin{aligned} F_合=F_N\cos\theta\\ F_N\sin\theta=mg \end{aligned}

结论是向心加速度相同：

a=\dfrac{F_合}{m}=g\cot\theta

同角不同面，最常见的是漏斗里面小球转圈圈。

根据 $F_向=ma$ ，因此质量越大，向心力越大。
根据 $\displaystyle F_N=\dfrac{mg}{\sin\theta}$ ，因此质量越大，对斜面压力越大。
根据 $a=\omega^2r$ ，因此半径越大，角速度越小。
根据 $\displaystyle a=\dfrac{v^2}{r}$ ，因此半径越大，线速度越大。

同面不同角模型

物体在同一平面，与法线的夹角不同，如右图。

根据圆锥摆的公式，角速度 $\omega$ 对各物体相同：

\omega=\sqrt{\dfrac{g}{L\cos\theta}}=\sqrt{\dfrac{g}{H}}

根据 $a=\omega^2r$ ，因此半径越大，加速度越大。
根据 $v=r\omega$ ，因此半径越大，线速度越大。

反向推论：角速度相同，则物体也会在同一平面上。

圆锥摆求夹角

在一根长度为 $l$ 的绳子下端悬挂一个质量为 $M$ 的小球，以匀角速度 $\omega$ 旋转。

求：绳子与铅锤方向所成的角 $\theta$ 。

易得：

\begin{aligned} T\cos\theta&=Mg\\ T\sin\theta&=M\omega^2r=M\omega^2l\sin\theta \end{aligned}

注意到一个可行解是 $\sin\theta=0$ ，即 $\theta=0$ （因为 $\theta=\pi$ 是不稳定状态）。

否则，

T=M\omega^2l

即，

Mg=T\cos\theta=M\omega^2l\cos\theta

\cos\theta=\dfrac{g}{\omega^2l},\;\theta=\arccos\left(\dfrac{g}{\omega^2l}\right)

结论：

\theta=\left\{\begin{aligned} &0&,\omega\le\sqrt{\dfrac{g}{l}}\\ &\arccos\left(\dfrac{g}{\omega^2l}\right)&,\omega>\sqrt{\dfrac{g}{l}}\\ \end{aligned}\right.

圆锥摆临界问题

先求出临界状态下的角速度。

根据临界角速度和实际角速度，做出受力分析。

圆盘模型

单物体圆盘模型

一个水平转动的圆盘上有一个物体。

此时，摩擦力提供向心力，物体与圆盘之间的摩擦因数为 $\mu$ 。

当最大静摩擦力（大小视为滑动摩擦力）等于向心力时恰好不滑动。

\mu mg=m\omega^2r

得出：

\omega=\sqrt{\dfrac{\mu g}{r}}

多物体圆盘模型

一个水平转动的圆盘上两个物体，考虑谁会先开始滑动。

物体 $m_1,m_2,\mu_1,\mu_2$ ，可以计算出每个物体的临界角速度。

\begin{aligned} \mu_1m_1g&=m_1\omega_1^2r_1\\ \mu_2m_2g&=m_2\omega_2^2r_2\\ \end{aligned}

得出：

\begin{aligned} \omega_1&=\sqrt{\mu_1g\over r_1}\\ \omega_2&=\sqrt{\mu_2g\over r_2} \end{aligned}

即 $\displaystyle{\mu\over r}$ 小的先发生滑动，大的后发生滑动。

如果摩擦系数相同，则离圆心越远，越先开始滑动。

同侧连接体圆盘模型

两物体质量分别为 $m_1,m_2$ ，用轻绳连接。

两物体与圆盘摩擦系数为 $\mu_1,\mu_2$ ，且距圆心分别为 $r_1,r_2(r_1<r_2)$ 同侧。

问题一：转速多大绳子出现拉力。

根据单物体圆盘模型，两物体独立的临界角速度分别为：

\omega_1=\sqrt{\mu_1g\over r_1}

\omega_2=\sqrt{\dfrac{\mu_2g}{r_2}}

如果 $\omega_1<\omega_2$ ，则绳子会松弛，我们不考虑这个情况。

因此，当转速大于等于 $\omega_2$ 的时候，绳子会出现拉力。

问题二：转速多大物体一起运动。

对物体整体法分析：

\mu_1m_1g+\mu_2m_2g=m_1\omega^2r_1+m_2\omega^2r_2

得出：

\omega=\sqrt{\dfrac{(\mu_1m_1+\mu_2m_2)g}{m_1r_1+m_2r_2}}

假设物体质量相等，即 $m_1=m_2$ ，则有：

\omega=\sqrt{(\mu_1+\mu_2)g\over r_1+r_2}

假设物体摩擦因数相等，即 $\mu_1=\mu_2$ ，则有：

\omega=\sqrt{\dfrac{\mu g(m_1+m_2)}{m_1r_1+m_2r_2}}

假设 $m_1=m_2$ 且 $\mu_1=\mu_2$ ，则有：

\omega=\sqrt{\dfrac{2\mu g}{r_1+r_2}}

注意到不可能有 $r_1=r_2$ ，因为是两个物体。

异侧连接体圆盘模型

可以进行质心的分析，简单来说两物体需要提供的向心力增量：

\begin{aligned} \Delta F_1&=m_1\Delta(\omega^2)r_1\\ \Delta F_2&=m_2\Delta(\omega^2)r_2 \end{aligned}

随着 $\omega$ 的增大，一定有一个先产生相对滑动趋势，假设是 $1$ 物体。

\omega_1=\sqrt{\dfrac{\mu_1g}{r_1}}

表示达到这个角速度时 $1$ 物体恰好没有产生相对滑动趋势。

此时，我们知道角速度增大一个小的增量 $\Delta\omega$ ，绳子就会提供 $\Delta F_1$ 的拉力。

此时注意到，如果 $\Delta F_1>\Delta F_2$ ，也就是 $m_1r_1>m_2r_2$ ，此时绳子拉力的增大快于了 $2$ 物体向心力的需求增量。那么， $2$ 物体的摩擦力就会减小，然后反向，最终向 $1$ 物体一侧滑开。我们设 $\omega_2$ 表示恰好 $2$ 物体没有摩擦力， $\omega_3$ 表示恰好不滑动。
$\begin{aligned} \omega_1&=\sqrt{\mu g\over r_1}\\ \omega_2&=\sqrt{\mu g\over r_1-r_2}\\ \omega_3&=\sqrt{2\mu g\over r_1-r_2} \end{aligned}$
此时注意到，如果 $\Delta F_1=\Delta F_2$ ，也就是 $m_1r_1=m_2r_2$ ，绳子拉力的增量等于了 $2$ 物体向心力的需求增量。那么，此时绳子拉力不断增大， $1$ 物体保持最大静摩擦状态， $2$ 物体保持原先的摩擦力大小，然而绳子拉力大小不断增大，有拉力 $T$ 和角速度的关系：
$T=m_2(\omega^2-\omega_1)^2r_2$
此时注意到，如果 $\Delta F_1<\Delta F_2$ ，也就是 $m_1r_1<m_2r_2$ ，此时绳子拉力的增量不足 $2$ 物体向心力的需求增量，因此 $2$ 物体摩擦力继续增大，因为绳子拉力保持了 $1$ 的静止，因此最终发生 $2$ 的最大静摩擦及滑动，向 $2$ 物体一侧滑开。

注意到这个可以通过质点的形式解决，我们将会在质点系中再次讨论。

非匀速绳杆模型

基础形态

区别：绳子无法提供对物体向上的力。

列式：

\begin{aligned} G+T&=F_c\\ mg+T&=m\frac{v^2}{r} \end{aligned}

绳模型

考虑最高点最小速度、恰好经过顶点、绳子无拉力：

物理量的表示，即： $v$ 最小， $F_c$ 最小， $T$ 为 $0$ 。

故：

\begin{aligned} mg&=m\frac{v^2}{r}\\ v&=\sqrt{gr} \end{aligned}

性质：

在圆上一定满足提供了向心力 $F_r=\dfrac{mv^2}{r}$ 。
脱离的临界态：在圆上、无拉力弹力、向心方向恰好提供了 $F_r$ 。
脱离的瞬间重力与所在半径连线夹角 $\cos\theta=\dfrac{v^2}{gr}$ 。

杆模型

杆子可以提供最大为 $-mg$ 的力（表示为顶着物体）。

即，有最高点最小速度 $v=0$ ，杆子不受力 $v=\sqrt{gr}$ 。

最高点时，杆子的力可以向上、向下，因此记临界速度 $v_0=\sqrt{gr}$ ：

若 $v>v_0$ 则杆子对物体的力向下，若 $v<v_0$ 杆子对物体的力向上。

然后写牛二式子 $mg\pm T=m\dfrac{v^2}{r}$ 。

拉力的作用力范围为 $(-\infty,mg]$ ，以支持力为正。

圆环模型

小球在圆环里面转圈，双环相当于杆，单环相当于绳。

注意到双环中，只可能两侧中的一侧受力，写牛二即可求 $T$ 。

动能定理

重力做功等于动能变化量，最高点速度可以求出来。

那么就可以求出来最低点的速度以及绳子的拉力。

绳子碰钉模型

一个绳子拴着小球，摆下来遇到钉子然后绕着更小的半径运动。

瞬间小球速度不变，忽略能量损耗，小球线速度 $v$ 始终不变。

根据 $\displaystyle F=\dfrac{mv^2}{r}$ ，绳子拉力增大；
根据 $\displaystyle\omega=\dfrac{v}{r}$ ，角速度增大；
根据 $a=v\omega$ ，加速度增大。
根据 $\displaystyle T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ ，周期减小。

RainPPR, Bot