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抛体运动

曲线运动概述

曲线运动特点

条件：v,av,a 不共线。

特点：瞬时速度方向等于轨迹切线方向，证明：

vyvx=dydt⋅dtdx=dydx\dfrac{v_y}{v_x}=\dfrac{\d y}{\d t}\cdot\dfrac{\d t}{\d x}=\dfrac{\d y}{\d x}

合速度加在 a,va,v 之间，向 aa 靠拢，但不会和 aa 共线。

合运动类型：

匀速直线运动匀加速直线运动
匀速直线运动匀速直线运动曲线运动

匀加速直线运动
曲线运动		若 $v_合 $ 与 $a_合 $ 共线则为匀加速直线运动
否则为曲线运动

小船过河问题

过河问题

如果船速大于水速：

  • 垂直河对岸：时间最短。

  • 斜向上、合速度指向对岸：位移最短。

如果船速小于水速：

  • 垂直河对岸：时间最短。

  • 斜向上、位与圆的切线：位移最短。

关联速度问题

连接关联：

  • 刚性绳被动端速率由主动端平行于绳的速度分量决定。

  • 本质是，分速度是合速度的投影，合速度是分速度的反投影。

接触关联：

  • 刚性接触的物体法向分量相等。

交点关联：

  • 两物体始终相交，速度一定相切于交点。

  • 通常换参考系，然后用相似解决。

微元法：

  • 忽略加速度 aa。

  • 将扇形视为三角形。

抛体运动定义

抛体运动是一个曲线运动，而且在运动中加速度始终为方向竖直向下的重力加速度 gg。

因此，抛体运动是一个匀变速曲线运动（易证，也是一个平面运动）。

抛体运动分类

平面平抛

有时，我们关心的是轨道方程，尽管轨道方程所包含的信息没有运动方程所含信息多。

在讨论轨道方程时，通常先写出轨道方程，再消去 tt 得到，正如我们上面的两个推导过程。

  1. 显而易见，在 v0,θv_0,\theta 确定的情况下，抛射体运动的轨道方程确定。

  2. 设抛射点为坐标原点，抛射初速度大小 v0v_0 为已知值，而 (x,y)(x,y) 为竖直抛射面内被击中的一定点，此时一般能解出两个 θ\theta 值；其中 θ1+θ2=π/2+β\theta_1+\theta_2=\pi/2+\beta，其中 β\beta 为在抛射点所看到的点 (x,y)(x,y) 的视角（∣β∣≤π/2|\beta|\le\pi/2）。

  3. 斜抛运动中，速度（切线）的反向延长线过水平位移中点。即速偏角 θ\theta 正切等于位偏角 α\alpha 正切两倍。

轨迹方程：

y=−g2v02x2y=-\dfrac{g}{2v_0^2}x^2

水平斜抛

根据运动叠加原理，可以把抛体运动看作由两个直线运动叠加而成。

即把一个曲线运动分解成两个直线运动的叠加来讨论。有两种分解方法：

  1. 速度为 v0v_0 的匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动。

  2. 以抛射点为坐标原点，在抛射平面（竖直平面）内建立直角坐标系，再把方程中各矢量沿 x,yx,y 方向分解。如果在抛射平面内分别取水平方向和竖直向上方向为 x,yx,y 轴方向，那么抛体运动方程的分量形式为：

vx=v0cos⁡θvy=v0sin⁡θ−gtx=(v0cos⁡θ)ty=(v0sin⁡θ)t−gt2/2\begin{aligned} &v_x=v_0\cos\theta&&\kern{1em}v_y=v_0\sin\theta-gt\\[0.5em] &x=(v_0\cos\theta)t&&\kern{1em}y=(v_0\sin\theta)t-gt^2/2 \end{aligned}

这表示，抛体运动可以看成：

沿 xx 方向的速度为 v0cos⁡θv_0\cos\theta 的匀速直线运动和沿 yy 方向的初速为 v0sin⁡θv_0\sin\theta、加速度为 gg 的匀变速直线运动。

轨迹方程：

y=−g2v0x2x2+v0yv0xxy=-\dfrac{g}{2v_{0x}^2}x^2+\dfrac{v_{0y}}{v_{0x}}x

因为 v0x=v0cos⁡θ,v0y=v0sin⁡θv_{0x}=v_0\cos\theta,v_{0y}=v_0\sin\theta，因此：

y=−g2(v0cos⁡θ)2x2+tan⁡θxy=-\dfrac{g}{2(v_0\cos\theta)^2}x^2+\tan\theta x

可得结论：

H=v02sin⁡2θ2gH=\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}
L=v02sin⁡2θgL=\dfrac{v_0^2\sin2\theta}{g}

对这个式子，我们知道，若在原点以同一角度、不同初速度斜抛，则最高点一定在方程：

y=H1/2Lx=12tan⁡θxy=\dfrac{H}{1/2L}x=\dfrac{1}{2}\tan\theta x

上面，同时，我们取一个固定时间 tt，横纵坐标关于初速度的直线方程：

y=tan⁡θx−12gt2y=\tan\theta x-\dfrac{1}{2}gt^2

斜面斜抛

在讨论沿斜面向上（或向下）抛掷物体的抛体运动时，通常令直角坐标的 x,yx,y 轴分别指向沿斜面向上（或向下）和垂直于斜面向上的方向更为方便。

此时 x,yx,y 方向的运动均为匀变速直线运动，它们在 x,yx,y 方向的分运动方程分别为：

vx=v0cos⁡θ±(gsin⁡φ)tvy=v0sin⁡θ−(gcos⁡φ)tx=(v0cos⁡θ)t±(gsin⁡φ)t2/2y=(v0sin⁡θ)t−(gcos⁡φ)t2/2\begin{aligned} &v_x=v_0\cos\theta\pm(g\sin\varphi)t&&\kern{1em}v_y=v_0\sin\theta-(g\cos\varphi)t\\[0.5em] &x=(v_0\cos\theta)t\pm(g\sin\varphi)t^2/2&&\kern{1em}y=(v_0\sin\theta)t-(g\cos\varphi)t^2/2 \end{aligned}

正号为斜面向下，负号为斜面向上，如图：

斜面斜抛

斜面斜抛

斜面平抛

抛体

从斜面上高点抛出，到最低点因为位偏角相等，因此速偏角相等，打到斜面上的速度夹角相同，三角形相似。

从斜面上方反向抛出，做出等高的线，这条线上存在初速度与水平位移的正比例。

包络线方程

抛体运动的包络线方程，也称为安全抛物线，是描述在给定初速度下，所有可能抛物线轨迹的外边界。

y=−g2v02x2+v022gy=-\dfrac{g}{2v_0^2}x^2+\dfrac{v_0^2}{2g}

其顶点为 v022g\dfrac{v_0^2}{2g}。

联立包络线方程和 y=−hy=-h 等可以直接得到很多好玩的东西。

斜抛运动矢量法

根本：将速度、位移按照效果分解。

矢量法

通常结合功动能定理。

类平抛运动

初速度与合外力垂直，满足平抛运动的一般性质。

例如合成等效重力。

抛体运动例题

例题一

如图 (a)(a)，求射程、最大高度，

射程，可由 y=0y=0 时的 xx 求得，表示 tt：

t=v0sin⁡θ±v0sin⁡θg=2v0sin⁡θgt=\dfrac{v_0\sin\theta\pm v_0\sin\theta}{g}=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g}

表示 L(x)L(x)，同时根据正弦函数二倍角公式，化简得：

L=(v0cos⁡θ)t=v02×2sin⁡θcos⁡θg=v02sin⁡2θgL=(v_0\cos\theta)t=\dfrac{v_0^2\times2\sin\theta\cos\theta}{g}=\dfrac{v_0^2\sin2\theta}{g}

易知，当 θ=π/4 (45∘)\theta=\pi/4\,(45^\circ) 时 Lmax=v02/gL_{\mathit{max}}=v_0^2/g。

最大高度，可由 vy=0v_y=0 时的 yy 求得：

t=v0sin⁡θg, H=v02sin⁡2θ2gt=\dfrac{v_0\sin\theta}{g},\,H=\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}

易知，当 θ=π/2 (90∘)\theta=\pi/2\,(90^\circ) 时 Hmax=v02/2gH_{\mathit{max}}=v_0^2/2g。

例题二

如图 (b)(b)，同理，小球在斜面上的射程：

S=2v02cos⁡(θ+φ)sin⁡θgcos⁡2φS=\dfrac{2v_0^2\cos(\theta+\varphi)\sin\theta}{g\cos^2\varphi}

例题三

在距离墙面 xx 处以 v0v_0 的初速度抛出一小球，小球撞击墙面的最大高度：

Hmax=v022g−gx22v02H_{\mathit{max}}=\dfrac{v_0^2}{2g}-\dfrac{gx^2}{2v_0^2}

例题四

在距离水平面 hh 处以 v0v_0 的初速度抛出一小球，小球落到水平面的最大射程：

Lmax=v0gv02+2ghL_{\mathit{max}}=\dfrac{v_0}{g}\sqrt{v_0^2+2gh}

抛射角：

θ=cot⁡(v0v02−2gh)\theta=\cot\left(\dfrac{v_0}{\sqrt{v_0^2-2gh}}\right)

例题五

斜上抛物体到达最高点时速度为 v=24m/sv=24\mathrm{m/s}，落地时速度为 vt=30m/sv_t=30\mathrm{m/s}，求：

  • 物体抛出时的速度的大小和方向；物体在空中的飞行时间；射高和水平射程。

列出方程：

vx=v0cos⁡θvy=v0sin⁡θ−gtx=(v0cos⁡θ)ty=(v0sin⁡θ)t−gt2/2\begin{aligned} &v_x=v_0\cos\theta&&\kern{1em}v_y=v_0\sin\theta-gt\\ &x=(v_0\cos\theta)t&&\kern{1em}y=(v_0\sin\theta)t-gt^2/2 \end{aligned}

由题意，vx=24m/sv_x=24\mathrm{m/s}；当 y=0y=0 时，vx2+vy2=(30m/s)2v_x^2+v_y^2=(30\mathrm{m/s})^2，解得 vy=18m/sv_y=18\mathrm{m/s}。

根据对称性，抛出时速度 v0=30m/sv_0=30\mathrm{m/s}，夹角 θ=cot⁡(vy/vx)=cot⁡(3/4)=37∘\theta=\cot(v_y/v_x)=\cot(3/4)=37^\circ。

落地飞行时间，即 y=0y=0 时的 tt，则 t1=0s, t2=3.6st_1=0\mathrm{s},\,t_2=3.6\mathrm{s}，其中 00 为抛出时（舍）。

射高，即 vy=0v_y=0 时的 yy，即 y∣t=1.8s=16.2my|_{t=1.8\mathrm{s}}=16.2\mathrm{m}；射程，即 x∣t=3.6s=86.4mx|_{t=3.6\mathrm{s}}=86.4\mathrm{m}。

即：初速度 30m/s (37∘)30\mathrm{m/s}\,(37^\circ)，飞行时间 3.6s3.6\mathrm{s}，射高为 16.2m16.2\mathrm{m}，射程为 86.4m86.4\mathrm{m}。

例题六

传送门：https://www.luogu.com.cn/problem/P4710。

形式化题面：

一个可以视为质点的小球在 (x0,y0)(x_0,y_0) 沿 xx 轴负方向以一初速度抛出，忽略阻力。

给定该小球落到原点 (0,0)(0,0) 时的瞬时速度 vv 及该速度与法线的夹角 θ\theta，求 (x0,y0)(x_0,y_0)。

给定速度单位为 m/s\mathrm{m/s}，角度单位为 rad\mathrm{rad}，重力加速度取 g=10m/s2g=10\mathrm{m/s^2}。

考虑将末速度正交分解：

{vx=vsin⁡θvy=vcos⁡θ\left\{\begin{aligned} v_x&=v\sin\theta\\ v_y&=v\cos\theta \end{aligned}\right.

考虑计算运动时间。

vt=v0+atv_t=v_0+at

故：

t=vt−v0a=vy2g=vcos⁡θ10m/s2t=\dfrac{v_t-v_0}{a}=\dfrac{v_y}{2g}=\dfrac{v\cos\theta}{10\mathrm{m/s^2}}

考虑水平运动距离：

xx=vxt=v2sin⁡θcos⁡θ10m/s2x_x=v_xt=\dfrac{v^2\sin\theta\cos\theta}{10\mathrm{m/s^2}}

考虑垂直运动距离：

2ax=vt2−v022ax=v_t^2-v_0^2

故：

xy=vt2−v022a=vy22g=v2cos⁡2θ20m/s2x_y=\dfrac{v_t^2-v_0^2}{2a}=\dfrac{v_y^2}{2g}=\dfrac{v^2\cos^2\theta}{20\mathrm{m/s^2}}

故起点坐标：

(x0,y0)=(v2sin⁡θcos⁡θ10m/s2,v2cos⁡2θ20m/s2)(x_0,y_0)=\left(\dfrac{v^2\sin\theta\cos\theta}{10\mathrm{m/s^2}},\dfrac{v^2\cos^2\theta}{20\mathrm{m/s^2}}\right)
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