解析几何

二次曲线

圆锥截线

用一平面去截双顶圆锥，得到的截线就是圆锥曲线。圆锥曲线是平面上满足距某定点（焦点）的距离与距某定直线（准线）的距离之比为常数 $e$ 的点的轨迹。

不妨设 $\alpha$ 指母线与轴的夹角（$0<\alpha<90^\circ$），切平面与轴的夹角为 $\beta$（$0\le\beta\le90^\circ$），则所得截线的离心率 $e$ 仅由这两个角决定：

角度—类型—离心率的对照：

• $\beta > \alpha$：椭圆，且 $e < 1$；$\beta = 90^\circ$ 时 $e=0$，为圆。
• $\beta = \alpha$：抛物线，$e = 1$（此时平面与某条母线平行）。
• $\beta < \alpha$：双曲线，$e > 1$（平面切到两片圆锥）。

离心率与行星运动，以牛顿大炮为例（忽略太阳的引力作用）：

• 以第一宇宙速度发射：圆形。

• 大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度：椭圆形。

• 第二宇宙速度：抛物线。

• 大于第二宇宙速度：双曲线。

更加具体的几何构造，由于代数手段可以简单的解决，纯几何手段通常很少使用。但是我们最基本的要掌握用丹德林双球构造，去证明圆锥截线是一个圆锥曲线。其核心原理是，球外一点到球的所有切线，从点到切点的距离相等。根据这个，我们首先猜想平面与双球的两个交点即为二次曲线的焦点，进而取曲线上任意一点，将其到两焦点的距离转化为到圆锥侧面的交点的距离，进而得出距离之和或之差恒定。

高考中有一类综合问题，把圆锥曲线（或者直线和圆）的部分知识，融合迁移到立体几何中出题。这类问题的核心构想是，将例题问题转化为平面问题，最简单的方法显然是直接推导边角关系，通常也能得出一部分关系，其次就是转化思想，取空间几何体的某个切面，然后通过空间的构造，进而在切面中求解。丹德林双球就是一类经典的问题，如果我们要进一步求解圆锥曲线的特征，通常就需要构造界面，然后通过相似、解三角形的知识求解了，这类问题有一个简化版：

用一个平面截一个无限高的圆柱，设平面与圆柱底面的夹角为 $\theta(0<\theta<90^\circ)$，则截面是一个椭圆，离心率为 $\sin^2\theta$。

一般方程

二次曲线（二次平面曲线）是圆锥曲线的别称，本身圆锥曲线就包括我们熟知的椭圆、双曲线、抛物线之外的一些“退化”的图像，但是我们在高中课本中最常讨论的是他们的标准形式，也就是说我们已经将这些退化的图形踢出了，我们为了保持与课本的一定对应关系，我们此处讨论这些退化的，或者更一般的圆锥曲线，统一按照“二次曲线”来称呼。

二次曲线（圆锥曲线）的一般方程：在笛卡尔坐标系内，二元二次方程的图像可以表示圆锥曲线，其一般方程为：

容易发现，一般方程一定可以表示任何一个圆锥曲线（或者退化的圆锥曲线），而标准方程就只能表示中心在原点（对于椭圆和双曲线来讲）、焦点在坐标轴上的一个非常“标准”的圆锥曲线。

五点确定圆锥曲线：

• 我们发现六个系数 $A,B,C,D,E,F$ 齐次于比例，故参数空间是五维。通常情况下，平面上任意五个点，只要没有四个或四个以上的点共线，就能唯一地确定一条圆锥曲线。这条曲线是否退化，取决于这五个点的具体位置。

• 我们不妨带入这五个点（公式略），这是一个有 $5$ 个方程、$6$ 个未知数的齐次线性方程组。根据线性代数理论，这样的方程组总是有非零解。如果解空间的维数是 $1$，那么所有的非零解都是成比例的，它们对应同一条圆锥曲线。

• 五个点唯一确定了一条圆锥曲线。若任意三点不共线，则可以确定唯一一个非退化的圆锥曲线。这五个点的位置关系直接决定了最终曲线的类型。例如，如果五个点构成一个凸五边形，那么它们确定的曲线必定是椭圆。如果一个点“远离”其他四个点，则很可能形成双曲线或抛物线。

一旦通过五个点解出了方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ 的系数 $A, B, C$，我们就可以通过代数方法来判断其类型。在此之前，我们先引入二次曲线的矩阵形式表达，我们不妨记二次项矩阵为 $Q$：

以及在齐次坐标下的增广矩阵 $M$：

这样，二次曲线就可以被表示为：

或者用齐次坐标下的增广矩阵形式：

这里面有经典的三大不变量与一半不变量，我们为了方便书写取一部分（部分字母可能存在差异，这里仅供参考）例如：

对于后者，我们通常使用它的一个变体，即：

一个二次曲线是否退化是由 $\Delta_3$ 决定的，而其具体的形状是由 $\delta(\Delta_2)$ 决定的：

• 如果 $\Delta_3\neq 0$，则曲线是非退化的（标准的圆锥曲线）。

  • 如果 $\delta<0$ 即 $\Delta_2>0$，则曲线为椭圆。

  • 如果 $\delta=0$ 即 $\Delta_2=0$，则曲线为抛物线。

  • 如果 $\delta>0$ 即 $\Delta_2<0$，则曲线为双曲线。

    特殊的，当 $A+C=0$ 时，其渐近线相互垂直，称为直角双曲线。

• 如果 $\Delta_3=0$，则曲线是退化的（点、一两条线或无图形）。

  • 如果 $\delta<0$ 即 $\Delta_2>0$，一个点或无实数图形。

    这种情况下，通常可以求解中心点坐标 $x_0,y_0$，如果 $f(x_0,y_0)=0$ 就是一个点，否则无实数图形。

  • 如果 $\delta=0$ 即 $\Delta_2=0$，两条平行（或重合）直线，或无实数图形。

    由于 $Ax^2+Bxy+Cy^2$ 是一个完全平方，我们知道它是平行直线，且方向向量为 $(\sqrt{C},-\sqrt{A})$，设直线方程为 $\sqrt{A}x+\sqrt{C}y+k=0$，带入原方程消去变量，得到一个关于 $k$ 的二次方程，解出两个 $k$ 即可得到两条平行直线（如果有重根就是一条重合直线，如果无解即为没有实数图形）。

    当 $B=0$ 时，还有一些简单方法，但是意义不大。

  • 如果 $\delta>0$ 即 $\Delta_2<0$，两条相交直线。

    将原方程看作关于 $x$（或 $y$）的二次方程，用求根公式解出 $x$（或 $y$）。

    $$\Delta=(By+D)^2-4A(Cy^2+Ey+F)$$

    是一个关于 $y$（或 $x$）的完全平方式，开方后会得到两个线性方程。

有一些分类可以用矩阵的秩（$\rank M$）快速解决，但是这过于超纲且难以理解，请自行查阅。

对角化

我们知道 $xy$ 项代表坐标轴相对曲线主轴的旋转，旋转角 $\theta$ 记为使新坐标系 $(x',y')$ 下的 $x'y'$ 项系数为零的角度，满足双角公式 $\cot\theta=\dfrac{A-C}{B}$ $\tan 2\theta=\dfrac{B}{A-C}$。我们需要求出新坐标系下的二项次系数，不妨记 $\lambda_1,\lambda_2$ 是矩阵 $Q$ 的特征值，即

或者

二次方程变为：

其中 $D',E'$ 是原 $D,E$ 在新坐标系下的分量。

消除平移

对于有中心对称的曲线（椭圆、双曲线），其中心 $(x_0,y_0)$ 是函数 $f(x,y)$ 的梯度为零的点，我们列出：

解得：

注意到 $\delta=0$ 是显然无解的，这再次说明抛物线没有中心。

标准方程

我们先将任一坐标 $(x,y)$ 旋转 $\theta$，然后将坐标原点平移到 $(x_0,y_0)$，即可得到二次曲线的标准方程：

常数项可以通过将 $(x_0,y_0)$ 带入原方程得到，也有更优雅的公式：

如果二次曲线是椭圆，则根据上面的方程，其参数 $a,b$ 分别为：

然后我们就可以按部就班的求出新坐标系下的焦点坐标（求出 $c$ 即可）：

将焦点坐标变换回原始坐标系即可：

将 $F_{1,2}''$ 的坐标（注意焦点在哪个坐标轴上）代入上式，即可得到原始坐标系下的焦点坐标。

离心率统一公式：

此处 $\eta=-\op{sgn}\Delta_3$，即 $\Delta_3$ 为负则 $\eta =1$，否则 $\eta=-1$。

圆锥曲线的极坐标定义：

这个形式极为简洁，其中 $L$ 为半通径，在椭圆中有 $L=a(1-e^2)$，常在焦点三角形中用到，我们会在那里详细解释。

模糊设法

我们知道一个方程（对于非退化的椭圆和双曲线来说）：

既可以表示椭圆，也可以表示双曲线，也可以表示二者的焦点在 $x,y$ 轴上。

这种设法，在某些题目中可以减少不必要的分类讨论，称为模糊设法，我们知道判断这样一个方程是什么图形，只需要看 $m,n$ 的正负和绝对值大小即可。

齐次化的方法：我们通常用一个一次的去乘给另一个等式中低次项，得出的式子既是齐次的、又是联立的，直接解出来就可以得到交点坐标。一个顶点、两个动点，且是求斜率之和、之积类问题，是经典的齐次化题型。通常我们还会结合将顶点平移到原点。

我们知道 $Ax^2+Bxy+Cy^2=0$ 可以表示两条过原点的直线，那么，当我们处理一条直线 $\lambda x+\mu y=1$ 和圆锥曲线的两个交点时，不妨用一的代换将圆锥曲线齐次化。将圆锥曲线方程中的一次项乘以 $\lambda x+\mu y$，常数项乘以 $(\lambda x+\mu y)^2$，例如：

这个式子就表示原点 $O$ 和两个交点 $A,B$ 构成的直线 $OA,OB$。例如，如果我们知道 $OA\perp OB$，那么只需要令

即可，非常方便，不妨记这三项分别为 $A,B,C$，那么：

根据这些要求可以求出参数满足的条件，进而下一步解题即可。

其他曲线

卡西尼卵形线

卡西尼卵形线，是平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，我们不妨设两顶点 $F_1=(-c,0),F_2=(c,0)$，曲线上的点 $P(x,y)$ 满足

卵形线的形状与比值 $b/c$ 有关：

• 如果 $b/c$ 大于 $1$，则轨迹是一条闭曲线。

• 如果 $b/c$ 小于 $1$，则轨迹是两条不相连的闭曲线。

• 如果 $b/c$ 等于 $1$，则是伯努利双扭线。

伯努利双纽线的形状类似无穷大的符号，是双曲线关于圆心在双曲线中心的圆的反演图形。

卡西尼卵形线的推导相对复杂，尤其是纯坐标运算，很难快速得出有用的结论，但是我们有一些简化的技巧，先不妨写出坐标方程：

注意到左侧 $x^2+y^2$ 的形式很好看，不妨设：

因此：

我们考虑双纽线 $b=c$，就会得到一个相当简单的式子：

因此：

如果我们要求最值的话，不妨：

然后就是简单的二次函数问题了。

拉梅曲线

超椭圆也称为拉梅曲线，是在笛卡儿坐标系下满足以下方程式的点的集合：

其中 $a, b, n$ 为正数。上述方程式的解是一个在 $-a \le x \le a$ 及 $-b \le y \le b$ 矩形内的封闭曲线，参数 $a$ 及 $b$ 称为曲线的半直径。

• 当 $0 < n < 1$ 时，超椭圆的图形类似一个四角星，四边向内凹。
• 当 $n = 1$ 时，超椭圆的图形为一菱形，四个顶点为 $(\pm a, 0)$ 及 $(0, \pm b)$。
• 当 $1 < n < 2$ 时，超椭圆的图形类似菱形，但四边是向外凸的曲线，越接近顶点曲率越大。
• 当 $n = 2$ 时，超椭圆的图形即为椭圆（若 $a = b$ 则为圆）。
• 当 $n > 2$ 时，超椭圆的图形类似圆角矩形，在 $(\pm a, 0)$ 及 $(0, \pm b)$ 四点处的曲率为 $0$。
• 其中 $n = 4$ 的超椭圆也称为方圆形。$n < 2$ 的超椭圆称为次椭圆，$n > 2$ 的超椭圆称为过椭圆。

内摆线（圆内螺线）是所有形式为：

的曲线，其中 $n$ 为正实数。

勒洛多边形

勒洛三角形，又被称为弧三角形或曲边三角形，是除了圆形以外，最简单易懂的勒洛多边形，一个定宽曲线。

勒洛多边形是勒洛三角形的拓展：

将一个曲线图放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切，则可以做到：无论这个曲线图如何运动，只要它还是在这两条平行线内，就始终与这两条平行线相切。

方程联立

双曲线联立直线，一定要先把一般方程化为整式。

注意直线不一定都可以表示为 $y=kx+b$，平行于 $y$ 轴的斜率不存在。

若直线过曲线的左顶点或者右顶点，我们应该设直线方程为 $x = ty + m$；若直线过曲线的上顶点或者下顶点，我们应该设直线方程为 $y = kx + m$。

若直线过曲线的顶点，一般来说我们都将另—个交点的坐标求出。

椭圆联立

椭圆与直线有三种情况，相切、相交、相离

我们设椭圆的一般方程

不妨先化为整式

设直线方程为 $y=kx+m$，带入

化简得到

我们知道

• 相交：$b^2+a^2k^2-m^2\ge0$。
• 相切：$b^2+a^2k^2-m^2=0$。
• 相离：$b^2+a^2k^2-m^2<0$。

如果相交，此时两交点之间的距离有

前者为硬解定理，后者为弦长公式。

直线 $\ell:y = kx + m$ 与曲线相交于 $A, B$，若弦长或三角形的面积已知，则斜率 $k$ 与 $m$ 必定满足某一个方程。

双曲线联立

根据双曲线的两条渐近线，因此双曲线与直线有也有三种情况，相切、相交、相离

我们设双曲线的一般方程

不妨先化为整式

设直线方程为 $y=kx+m$，带入

化简得到

我们分类讨论二项式系数

注意，如果直线与双曲线有一个交点，则可能有两种情况。

抛物线联立

不妨设抛物线

联立直线 $y=kx+m$，得到

若 $k=0$，则有一个交点。

若 $k\neq0$，我们知道

因此：

• 若 $p-2km\ge0$：相交。

• 若 $p-2km=0$：相切。

• 若 $p-2km<0$：相离。

同样有弦长公式

如果我们知道直线与 $x$ 轴的交点，例如过抛物线的焦点，不妨设直线方程 $x=ky+m$，联立的时候直接带入，得到

此时就可以避免平方了。

硬解定理

二次曲线系

我们知道两条直线 $L_1=0,L_2=0$ 可以共用一个退化的“二次曲线”来表示，即为 $L_1\cdot L_2=0$，这给我们一个启示，两条直线与圆锥曲线联立，不妨用这个二次曲线去联立。

例如，两条平行直线交双曲线 $E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a,b>0)$ 左、右支于四个点 $A,B,C,D$，不妨设 $AB(L_1),CD(L_2)$ 交于点 $P(x_c,y_c)$，我们不妨设：

我们不妨设：

我们知道 $A,B,C,D$ 即过 $E$，也过 $C$，因此不妨构造：

那么一定存在一个 $\lambda$ 使得 $\Gamma$ 过点 $P$，即为过 $P$ 的两条相交直线，我们不妨写出这个二次曲线的中心点坐标，令其即为 $(x_0,y_0)$，即可得到参数的关系。

这里有一个二级结论：两条斜率为 $k$ 的平行直线分别与双曲线相交，则同一支上两个交点连线，两条直线的交点 $P$ 一定满足：

即 $P$ 一定在：

上面。

切线方程

方法一（判别式）：

• 我们知道相切即有且仅有一个交点，利用判别式：

  设切线为 $y=kx+b$，联立曲线方程，令判别式 $\Delta=0$。

方法二（求导法）：

• 我们令曲线方程为 $F(x,y)=0$，对 $F$ 求导。

• 我们利用导数中讲的隐函数求导：

  将 $y$ 看作 $f(x)$，利用链式法则进行求导。

• 或者更简单的，我们利用偏导：

  $$y'=-\dfrac{F_x}{F_y}$$

  其中

  $$\begin{aligned} F_x&=\dfrac{\partial F}{\partial x}(x,y)\\ F_y&=\dfrac{\partial F}{\partial y}(x,y) \end{aligned}$$

• 对于求导后的结果，带入曲线上的点即可得到曲线在该处的切线。

经过推导，我们得出椭圆的切线方程

同理，双曲线的切线方程

对于一般的圆锥曲线

其切线方程就是

也就是说我们替换

得到的就是 $F$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的切线方程。

切点弦方程：设过椭圆外一点 $A=(x_0,y_0)$ 有椭圆的切线 $AB,AC$，其中 $B=(x_1,y_1),C=(x_2,y_2)$ 为切点，则 $BC$ 的方程也为

证明：根据 $AB,AC$ 是切线，列出 $AB,AC$ 的直线方程

我们知道 $A(x_0,y_0)$ 在这两条直线上，因此带入 $(x,y)=(x_0,y_0)$

因此不妨令直线

则一定有 $B(x_1,y_1),C(x_2,y_2)$ 一定在这条直线上。

设而不求

通过合适的设，可以大大简化计算量。

直线斜率互补：

• 若 $A(x_0, y_0)$ 为椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)$ 上的点，$E, F$ 是椭圆上的两个动点，直线 $AE$ 的倾斜角与直线 $AF$ 的倾斜角互补，则直线 $EF$ 的斜率为定值 $(1-e^2)\dfrac{x_0}{y_0}$，且和椭圆在点 $A$ 处的切线的斜率互为相反数。（其中 $e$ 为椭圆的离心率）

• 若 $A(x_0, y_0)$ 为双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1(a>0, b>0)$ 上的点，$E,F$ 是双曲线上的两个动点，直线 $AE$ 的倾斜角与直线 $AF$ 的倾斜角互补，则直线 $EF$ 的斜率为定值 $(1-e^2)\dfrac{x_0}{y_0}$，且和双曲线在点 $A$ 处的切线的斜率互为相反数。（证明过程可类比上述证明椭圆相关性质的过程）。

• 若 $A(x_0, y_0)$ 为抛物线 $y^2 = 2px(p>0)$ 上的点，$E, F$ 是抛物线上的两个动点，直线 $AE$ 的倾斜角与直线 $AF$ 的倾斜角互补，则直线 $EF$ 的斜率为定值 $-\dfrac{p}{y_0}$，且和抛物线在点 $A$ 处的切线的斜率互为相反数。

曲线上点

在圆锥曲线问题中，常用的简化计算的方法，除了设而不求，还有设线解点、齐次化联立，和一些通过坐标等符号运算的不联立、不韦达做法。

设线解点：已知圆锥曲线上一点，过这一点做直线，与圆锥曲线交于另外一点，则可以直接设出这条直线的斜率，用点斜式表示直线，联立直线，然后用韦达定理得出两根之积、和，因为已知一点坐标，因此另一点坐标可以用已知点和两个之和或之积直接得出，如果有一个是零，那么用和，否则一般用积。

齐次化联立：齐次化后，在二次曲线中一般是得到齐二次式，通过除去二次，可以得到关于某一比值的一元二次方程，再根据韦达定理可以得出这个比值的两个取值的关系。这个比值通常就是斜率。当给出过一点两条直线斜率的关系时，就可以这么做。设线时根据线不过这一点 $P(x_0,y_0)$ 设为 $\ell:m(x-x_0)+n(y-y_0)=1$，然后一次二次联立，用上式进行其次化，将一次，或者零次带入若干次，最终得到化简的二次式，即可得到关于 $P$ 点的斜率之积和之和了。

定点定线

通常来说，求一个点在定直线上，求一条直线过定点，这类问题经常能够转化为极点极线问题，或者是极点极线的思想——射影几何——对偶性，即点和线是可以相互转化的，定点和定直线之间存在互极的关系。

Frégier 定理（费雷吉尔定理）是关于圆锥曲线的几何定理，描述了二次曲线上定点 $P$ 的两条连线斜率之积与弦 $PM$ 经过定点的关系。若 $P$ 是圆锥曲线 $E$ 上一点，弦 $MN$ 的两端连线 $PM,PN$ 斜率之积 $k_1,k_2$ 为定值，则弦 $MN$ 必过一特定点，该定点通常称为Frégier 点。Frégier 定理适用范围于椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线，以椭圆为例：

具体形式：对于椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，当点 $P$ 处的两条斜率满足 $k_1k_2=\lambda$，弦 $MN$ 经过定点 $D(\mu x_0,-\mu y_0)$，其中

可以用齐次化构造，将曲线平移或直接构造代数化的隐坐标解决，当然如果 $\lambda=\dfrac{b^2}{a^2}$ 需要单独讨论。

这个性质非常好用，建议背过。这一类模型俗称“手电筒模型”，参考 定点之Fregier定理 - 知乎 和 圆锥曲线Fregier定理：定点与定斜率和积 - 知乎。

拓展定理

托勒密定理

托勒密定理指出：圆内接凸四边形中，两组对边的乘积之和等于两条对角线的乘积。

广义托勒密定理指出，任意凸四边形左式大于等于右式，取等当且仅当为圆内接。

若线段 $AB$ 与 $CD$ 相交于 $M$，则 $A, B, C, D$ 四点共圆等价于 $|MA| \cdot |MB| = |MC| \cdot |MD|$。

相交弦定理

圆的两条弦 $AB,CD$ 相交于点 $P$，如图

则

如果 $P$ 在圆内也成立。

圆幂定理

[TODO]

西姆松定理

点 $P$ 到 $\triangle ABC$ 各边的投影共线，当且仅当 $P$ 位于该三角形的外接圆上（如图左）。

斯坦纳线定理：一个三角形外接圆上任意一点（该点不为三角形顶点）关于三角形三边的对称点，这三个对称点是共线的，并且这条直线（称为斯坦纳线）必经过该三角形的垂心。

如右图，假设点 $P$ 位于三角形 $ABC$ 的外接圆上。在外接圆上选择一点 $B'$，使得直线 $PB'$ 垂直于 $AC$。那么 $BB'$ 平行于 $P$ 的西姆松线。

推论：当点 $P$ 沿圆周移动时，西姆松线以弧 $PA$ 变化率的一半的速率向相反方向旋转。

定点速求

对于动直线 $MN$，如果可以将其上任意两点的坐标用一个参数 $t$ 表示，例如 $M(f,g),N(u,v)$，其中省略了 $(t)$，则可以用下面的方法判断并求出直线过的定点。

首先，我们引入齐次坐标，设 $\bm p=(f,g,1),\bm q=(u,v,1)$，如果式子中有分式，通常直接把分母乘上，此时后面的 $1$ 也要乘上对应的系数，我们在后面的例题中详细展示。

我们知道，直线 $MN$ 此时可以表示为：

我们此时用行列式的方法求出矢量积，此处的方向不重要，重点是求出直线的形式。然后我们知道，如果直线过定点 $\bm X$，那么对于任意时刻 $t$，定点 $\bm X$ 都在直线 $\bm L$ 上，可以表示为：

我们对两边求导，两个式子都对任意 $t$ 成立：

因此我们发现 $\bm X$ 就是 $\bm L(t)$ 和 $\bm L'(t)$ 的法向量（与两个向量均垂直），因此不妨取：

最后归一化求出其在笛卡尔坐标系的对应坐标即可。

容易知道，如果最后化出来的坐标是常数，那么过定点；如果不是常数，那么就不过定点了，此时这条直线应当为某个曲线的包络线方程，具体的，我们将其横纵坐标进行代数运算，消去未知量 $t$，得到的方程就应该是曲线方程，这个方法可以用于由包络线方程求曲线方程。

下面我们给出几道例题，展示一下完整的求解过程。