微积分

积分

几何意义

如果在 $[a,b](a\neq b)$ 上函数 $f(x)$ 连续且恒有 $f(x)\geq 0$，那么定积分 $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx$ 表示由曲线 $y=f(x)$ 以及直线 $x=a,x=b,y=0$ 围成的曲边梯形的面积。

若 $f(x)\leq 0$，那么定积分 $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx$ 表示由曲线 $y=f(x)$ 以及直线 $x=a,x=b,y=0$ 围成的曲边梯形的面积的负值。

如果我们把 $x$ 轴上方的面积赋予正号，下方的面积赋予负号，那么在一般情形下，定积分 $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx$ 表示由曲线 $y=f(x)$ 以及直线 $x=a,x=b,y=0$ 围成的各部分图形面积的代数和。

微积分基本定理 / $\mathrm{Newton-Leibniz}$ 牛顿 - 莱布尼兹公式

以下设 $C$ 是一个常数。

如果 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数且 $F'(x)=f(x)$，那么

我们称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数。因为 $[F(x)+C]'=f(x)$，所以 $F(x)+C$ 也是 $f(x)$ 的原函数。

常用定积分公式：

定积分的基本性质

1. $$\int_a^b Cf(x)\ dx=C\int_a^b f(x)\ dx$$
2. $$\int_a^b[f(x)\pm g(x)]\ dx=\int_a^b f(x)\ dx\pm\int_a^b g(x)\ dx$$
3. $$\int_a^b f(x)\ dx=\int_a^c f(x)\ dx+\int_c^b f(x)\ dx$$

4. 在区间 $[a,b]$ 上满足 $f(x)\geq 0$，则 $$\int_a^b f(x)\ dx\geq 0$$

5. 在区间 $[a,b]$ 上满足 $f(x)\leq g(x)$，则 $$\int_a^b f(x)\ dx\leq\int_a^b g(x)\ dx$$

6. $$\left|\int_a^bf(x)\ dx\right |\leq\int_a^b|f(x)|\ dx$$

7. 若 $f(x)$ 是偶函数，且在 $[-a,a]$ 上连续，则 $$\int_{-a}^af(x)\ dx=2\int_0^af(x)\ dx$$

8. 若 $f(x)$ 是奇函数，且在 $[-a,a]$ 上连续，则 $$\int_{-a}^af(x)\ dx=0$$

不定积分

我们现在需要一种简单的表示反导数的方式。根据微积分基本定理，我们可以用 $\displaystyle\int f(x)\ dx$ 表示“函数 $f$ 的反导数的集合”，注意任何可积函数都有无数个反导数，唯一不同的是常数部分。例如，

对于任意常数 $C$ 都成立。也就是说，若 $F'(x)=f(x)$，则

不定积分的性质同定积分的性质。

换元法

• 第一换元积分法：令 $y=g(x)$ 有：

1. $$\int 2\sin 2x\ dx\xlongequal{u=2x}\int\sin u\ du=-\cos u+C=-\cos 2x+C\ \ \ \ (du=2dx)$$
2. $$\int (2x+1)^5\ dx\xlongequal{u=2x+1}\int u^5\ du=\frac{1}{12}u^6+C=\frac{1}{12}(2x+1)^6+C\ \ \ \ (du=2dx)$$
3. $$\begin{aligned}\int\frac{2x}{(x^2+1)^3}\ dx&=\int(x^2+1)^{-3}\cdot 2x\ dx\xlongequal{u=x^2+1}\int u^{-3}\ du\\&=-\frac{1}{2}u^{-2}+C=-\frac{1}{2(x^2+1)}+C\ \ \ \ (du=2xdx)\end{aligned}$$
4. $$\begin{aligned}\int x\sqrt{1-x^2}\ dx&=-\frac{1}{2}\int\sqrt{1-x^2}(-2x\ dx)\xlongequal{u=1-x^2}-\frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}\ du\\&=-\frac{1}{3}u^{\frac{3}{2}}+C=-\frac{1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}}+C\ \ \ \ (du=-2dx)\end{aligned}$$
5. $$\int\frac{1}{x^2+a^2}\ dx=\frac{1}{a^2}\int\frac{1}{\frac{x^2}{a^2}+1}\ dx=\frac{1}{a}\int\frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}\ d(\frac{x}{a})=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$$
6. $$\int_0^1e^{2x}\ dx=\int_0^2\frac{1}{2}e^y\ dy=\frac{1}{2}(e^2-e^0)=\frac{1}{2}(e^2-1)$$

7. 第二换元积分法：令 $x=g(t),dx=g'(t)dt$ 有：

1. $$\begin{aligned}\int\frac{1}{1+\sqrt x}\ dx&\xlongequal{x=t^2}\int\frac{1}{1+t}\cdot 2t\ dt=2\int(1-\frac{1}{1+t})\ dt=2t-2\ln|1+t|+C\\&=2\sqrt{x}-2\ln|1+\sqrt{x}|+C\end{aligned}$$
2. $$\begin{aligned}\int\sqrt{a^2-x^2}\ dx&\xlongequal{x=a\sin t}\int a\cos t\cdot a\cos t\ dt=a^2\int \cos^2 t\ dt\\&=a^2\int\frac{1+\cos 2t}{2}dt=a^2(\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sin 2t)+C\\&=a^2(\frac{1}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{1}{4}\frac{2}{a^2}x\sqrt{a^2-x^2})+C\\&=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C\end{aligned}$$

分部积分法

1. 计算 $\displaystyle\int x\cos x\ dx$，设 $u=x,dv=\cos x\ dx$，则 $du=dx,v=\sin x$ $$\int x\cos x\ dx=x\sin x-\int \sin x\ dx=x\sin x+\cos x+C$$

2. 计算 $\displaystyle\int\arctan x\ dx$，设 $u=\arctan x,dv=dx$，则 $\displaystyle du=\frac{1}{1+x^2}\ dx,v=x$ $$\begin{aligned}\int \arctan x&=x\arctan x-\int\frac{1}{1+x^2}\ dx=x\arctan x-\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+x^2}d(1+x^2)\\&=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C\end{aligned}$$

3. 计算 $\displaystyle\int x\ln x\ dx$，设 $u=\ln x,dv=x\ dx$，则 $\displaystyle du=\frac{1}{x}\ dx,v=\frac{1}{2}x^2$ $$\int x\ln x\ dx=\frac{1}{2}x^2\ln x-\int\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{2}x^2\ dx=\frac{1}{2}x^2\ln x-\frac{1}{4}x^2+C$$

Gamma 函数（第二类欧拉积分）

欧拉发现当 $n$ 为整数时，$\displaystyle\int_0^{+\infty}t^ne^{-t}\ dt=n!$，于是我们把 $n$ 替换成实数，就可变为

1. $s$ 为非正整数的复数 $s$ 时，$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$
2. $n$ 为整数时，$\Gamma(n+1)=n!$
3. 余元公式（欧拉反射原理）：$s\in(0,1)$ 时，$\displaystyle\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin\pi s}$，得 $\displaystyle\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt\pi$

应用

1. 计算 $y=e^x$ 在 $x=0$ 与 $x=1$ 之间与 $x$ 轴围成的曲边梯形的面积。

只需计算 $\displaystyle\int_0^1e^x\ dx=e^1-e^0=e-1$

1. 计算 $x=y^2$ 与 $x=1$ 之间围成的图形的面积。

只需计算 $\displaystyle\int_0^1(\sqrt{x}-(-\sqrt{x}))\ dx=\int_0^1(2\sqrt{x})\ dx=\frac{4}{3}\sqrt{x^3}|_0^1=\frac{4}{3}-0=\frac{4}{3}$

1. 【2025 GD 一模 T19】如果函数 $F(x)$ 的导数为 $F'(x)=f(x)$，可记为 $\displaystyle\int f(x)\ dx=F(x)$，若 $f(x)\geq 0$，则 $\displaystyle\int_a^bf(x)\ dx=F(b)-F(a)$ 表示曲线 $y=f(x)$，直线 $x=a,x=b$ 以及 $x$ 轴围成的“曲边梯形”的面积。如：$\displaystyle\int 2x\ dx=x^2+C$，其中 $C$ 为常数；$\displaystyle\int_0^2 2x\ dx=(2^2+C)-(0+C)=4$，则表示 $x=0,x=1,y=2x+C$ 以及 $x$ 轴围成的面积为 $4$. $(1)$ 若 $f(x)=\displaystyle\int(e^x+1)\ dx,f(0)=2$，求 $f(x)$ 的表达式。 $(2)$ 求曲线 $y=x^2$ 与直线 $y=-x+6$ 所围成图形的面积。 $(3)$ 若 $f(x)=e^x-1-2mx,x\in[0,+\infty)$，其中 $m\in\R,\forall a,b\in[0,+\infty)$，若 $a>b$，都满足 $\displaystyle\int_0^a f(x)\ dx>\int_0^b f(x)\ dx$，求 $m$ 取值范围。

解：$(1)\ f(x)=e^x+x+1$.

$(2)$ 先解方程 $x^2=-x+6$ 得到 $x=-3$ 或 $2$.

答案即为 $\displaystyle\int_{-3}^2 (-x+6-x^2)\ dx=(-\frac{1}{2}x^2+6x-\frac{1}{3}x^3)|_{-3}^2=\frac{22}{3}-(-\frac{27}{2})=\frac{125}{6}$.

$(3)$ 由题意可知，$\forall a,b\in[0,+\infty),a>b$ 满足 $F(a)-F(0)>F(b)-F(0)$，即 $F(a)\uparrow$，进而 $f(x)\geq 0$ 在 $[0,+\infty)$ 恒成立。

接下来就是常规导数了。分离参数 $m\leq\frac{e^x-1}{2x}=g(x),g'(x)=\frac{(x-1)e^x+1}{2x^2}$，令 $h(x)=(x-1)e^x,h'(x)=xe^x\geq 0$，即 $h(x)\uparrow,g'(x)\uparrow,g(x)\uparrow$，由洛必达法则，$\displaystyle m\leq\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}$.

微积分在数列中的应用

秒杀神秘放缩的终极方法。但是需要一些高等知识，比如说解简单的常微分方程。但是一般的方程一眼看出来就可以了，这里给出通法：

对于一阶齐次线性微分方程：

解为

对于一阶非齐次线性微分方程：

先解 $y'+P(x)y=0$ 得到 $y=Ce^{-\int P(x)dx}$，再令 $C=u(x)$ 得

代入原方程得

对 $u'(x)$ 积分带入得到通解：

以上的 $C$ 都为常数，由初始条件决定。

$\displaystyle a_1=1,a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，求 $a_{2024}$ 的整数部分？

设 $a_n$ 近似为一个连续函数 $f(x)$，考虑 $a_{n+1}-a_n$ 和 $\frac{1}{a_n}$ 的关系。对于 $n\to +\infty$，有

由 $f(1)=1$ 得到 $\displaystyle C=-\frac{1}{2}$，微分方程解得 $f(x)=\sqrt{2x-1}$，得到 $f(2024)=\sqrt{4047}\approx 63$

已知 $\displaystyle a_1=1,a_{n+1}=a_n-\frac{1}{3}a_n^2$，则 $100a_{100}$ 的范围是哪个：$\displaystyle\left(2,\frac{5}{2}\right),\left(\frac{5}{2},3\right), \left(3,\frac{7}{2}\right)$ ？

注意到

这道题是我们班的补充题，当时无人证出 $\displaystyle >\frac{5}{2}$，我们老师上课思考了不到 $15$ 分钟讲了这种方法（他从不备课），注意力简直惊为天人。

积分法：$\displaystyle f(x)=a_n,f'(x)=\frac{df(x)}{dx}=-\frac{1}{3}f^2(x)\implies \int f^{-2}(x)df(x)=\int-\frac{1}{3}dx\\-f^{-1}(x)=-\frac{1}{3}x+C,f(x)=\frac{3}{x+C}\implies\frac{3}{x+2}$，显然 $\displaystyle 100a_{100}\in\left(\frac{5}{2},3\right)$. 可以代入 $a_2,a_3$ 获得更高的精度。

已知 $\displaystyle a_1=1,a_{n+1}=\frac{a_n}{1+\sqrt[3]{a_n}}$，求 $S_{100}$ 的整数部分。

答案：准确值是 $2.38$.

另外，欧拉常数 $\displaystyle\gamma=\lim_{n\to\infty}\left[\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\right)-\ln n\right]=\int_1^{\infty}\left(\frac{1}{\lfloor x\rfloor}-\frac{1}{x}\right)\approx 0.57721 56649 01532 86060$，于是可以估计 $\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\approx\ln n+\gamma$.

也可以用一个结论（Basel 问题，知乎专栏 ）：$\red{\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\approx 1.645}}$

相关证明：设黎曼 Zeta 函数 $\zeta(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^s}\ (s>1)$，显然 $\displaystyle\lim_{s\to 1^+}\zeta(s)=+\infty,\lim_{s\to+\infty}\zeta(s)=1$.

由泰勒展开得 $\displaystyle\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+\dots=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}$

因此 $\displaystyle\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}+\dots=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n+1)!}①$（ $\displaystyle\frac{\sin x}{x}$ 的无穷级数展开）

熟知 $\displaystyle\frac{\sin x}{x}$ 的无穷乘积展开 $\displaystyle\frac{\sin x}{x}=\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)=\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4\pi^2}\right)\cdots②$

Basel 问题即 $\displaystyle\zeta(2)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$，比较 $①②$ 式中二次项系数得 $\displaystyle -\frac{1}{3!}=-\frac{1}{\pi^2}-\frac{1}{2^2\pi^2}-\dots$

由此可得 $\displaystyle\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$，进一步地我们有 $\displaystyle\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90},\zeta(6)=\frac{\pi^6}{945}$.

上述思路可总结出一个结论：若 $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}a_kx^k=\prod_{k=1}^{+\infty}(1+b_kx)$，设 $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}b_k^n$，则 $$S_1=a_1,\ \ \ S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k+1}a_kS_{n-k}+(-1)^{n+1}na_n$$

积分放缩在数列中的应用

我们熟知的积分放缩一般是这样的（证明：几何意义）

例如：

练习 1：证明 $\displaystyle\sum_{k=2}^n\frac{1}{k\sqrt{k}}<\sqrt{2}\ \ \ \ \text{}$ 和 $\ \ \ \ \displaystyle\frac{2}{3}n^\frac{3}{2}\leq\sum_{k=1}^n\sqrt{k}\leq\frac{2}{3}[(n+1)^\frac{3}{2}-n]$

练习 2：证明 $\displaystyle\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}<\ln(n+1)<\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\ \ \ \ \text{}$ 和 $\ \ \ \ \displaystyle\frac{4}{7}<\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}<\ln 2<\frac{25}{36}<\frac{\sqrt{2}}{2}$

练习 3：证明 $\displaystyle\begin{cases}\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^p}<\frac{p}{p-1}&p>1\\\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^p}\geq\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}>\ln n&p\leq 1\end{cases}$

我们还可以根据 $f(x)$ 的凹凸性进一步放缩。

当 $f(x)\downarrow$ 且下凸时，

当 $f(x)\downarrow$ 且上凸时，

当 $f(x)\uparrow$ 且下凸时，

当 $f(x)\uparrow$ 且上凸时，