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数列基础全攻略：从概念到高级技巧

本篇博文梳理了数列的核心概念与常用方法，涵盖无限与有限数列、等差、等比、裂项放缩以及变量换元等专题。通过直观示例和简练公式，帮助高中生、竞赛爱好者以及自学者在短时间内建立完整的数列框架，进一步提升解题效率。

基础概念

数列是一组按顺序排列的数值，每一个位置称为 项。根据项数的不同，可分为 无限数列 与 有限数列。

无穷数列

若 a:N→Ca:\mathbb N\to\mathbb C 为函数，则记为

{an}n∈N或(an)n∈N\{a_n\}_{n\in\mathbb N}\quad\text{或}\quad(a_n)_{n\in\mathbb N}

其中 ana_n 为第 nn 项。

有限数列

设 In={1,2,…,n}I_n=\{1,2,\dots ,n\}，则函数 a:In→Ca:I_n\to\mathbb C 称为 有限数列，记作 {ai}i=1n\{a_i\}_{i=1}^{n}。

数列的级数

数列的逐项累加得到的序列称为 级数，记为

Sn=∑i=1naiS_n=\sum_{i=1}^{n}a_i

SnS_n 的递推关系为 Sn=Sn−1+anS_n=S_{n-1}+a_n（S0=0S_0=0）。

数列与函数

数列本质是离散函数，常用 an=f(n)a_n=f(n) 表示其通项。由此可以把求和、差分等运算类比为积分、微分的离散版。

表示方法

列举法

直接写出前几项，如 ⟨1,2,4,8,… ⟩\langle 1,2,4,8,\dots\rangle。适用于短序列，无法完整描述无限数列。

图像法

把每一项对应的点绘于平面，仅能呈现离散散点，实际教学中不常使用。

通项公式

用代数式揭示 nn 与 ana_n 的关系。例如等比数列 an=a1q n−1a_n=a_1q^{\,n-1}。

递推公式

用前一项或前几项描述后继项，如

an+1=an+d(等差)a_{n+1}=a_n+d \quad\text{（等差）}

或

an+1=qan(等比)a_{n+1}=qa_n \quad\text{（等比）}

等差数列

相邻两项的差恒为常数 dd，称为 公差。

递推公式

an+1=an+d(n≥1)a_{n+1}=a_n+d\qquad (n\ge 1)

通项公式

an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d

等差性质

  • 前后项差：d=an−am n−m d=\dfrac{a_n-a_m}{\,n-m\,}
  • 中项等式：an=an−1+an+12a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}
  • 任意两项之和相等：若 m+n=p+qm+n=p+q，则 am+an=ap+aqa_m+a_n=a_p+a_q。

项数公式

已知首项 a1a_1 与第 kk 项 aka_k，可求项数

k=ak−a1d+1k=\frac{a_k-a_1}{d}+1

求和公式

等差前 nn 项和为

Sn=n(a1+an)2=na1+n(n−1)2dS_n=\frac{n\bigl(a_1+a_n\bigr)}{2} =na_1+\frac{n(n-1)}{2}d

把 SnS_n 看作二次函数 Sn=d2n2+(a1−d2)nS_n=\frac{d}{2}n^{2}+\bigl(a_1-\frac{d}{2}\bigr)n，可直接求极值位置。

等差中项

给定两端 a,ba,b，中项 cc 为算术平均数：

c=a+b2c=\frac{a+b}{2}

累加法

若递推式 an=an−1+f(n)a_n=a_{n-1}+f(n)，则

an=a1+∑k=2nf(k)a_n=a_1+\sum_{k=2}^{n}f(k)

多阶等差

对公差再求前缀和可得到二阶等差数列；若两阶数列相乘仍保持二阶结构。

等比数列

相邻两项的比值恒为常数 qq，称为 公比。

递推公式

an+1=qan(q≠0)a_{n+1}=qa_n\qquad (q\neq0)

通项公式

an=a1q n−1a_n=a_1q^{\,n-1}

等比性质

  • 前后项积：an−1an+1=an2a_{n-1}a_{n+1}=a_n^{2}
  • 任意两项乘积相等：若 m+n=p+qm+n=p+q，则 aman=apaqa_m a_n=a_p a_q。

求和公式

若 q≠1q\neq1，前 nn 项和为

Sn=a1q n−1q−1S_n=a_1\frac{q^{\,n}-1}{q-1}

若 q=1q=1，则 Sn=na1S_n=na_1。

等比中项

两端 a,ba,b 的几何平均数为中项：

c=abc=\sqrt{ab}

累乘法

若递推式 an=an−1f(n)a_n=a_{n-1}f(n)，则

an=a1∏k=2nf(k)a_n=a_1\prod_{k=2}^{n}f(k)

裂项放缩

通过把复杂分式拆成差的形式，可以让求和过程出现大量相消项。

经典裂项

1n(n+1)=1n−1n+1\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}

整式裂项

利用立方或高次多项式的差分进行拆分，如

n(n+1)=13[n(n+1)(n+2)−(n−1)n(n+1)]n(n+1)=\frac{1}{3}\Bigl[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)\Bigr]

从而得到

∑k=1nk(k+1)=n(n+1)(n+2)3\sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}

更多裂项

包括根式、阶乘以及高次幂的裂项，例如

1a+b=a−ba−b\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} =\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}

以及

2k2k4+1=12k2−2k+1−12k2+2k+1\frac{2^{k}}{2k^{4}+1} =\frac{1}{2k^{2}-2k+1}-\frac{1}{2k^{2}+2k+1}

共轭根式

利用 (a−b)(a+b)=a−b(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)=a-b，可快速化简含根号的分式。

阶乘问题

典型恒等式

n⋅n!=(n+1)!−n!n\cdot n!=(n+1)!-n!

帮助把阶乘序列转化为差分形式。

放缩基础与进阶

对于收敛性或渐进估计，常用不等式

1n−1n+1<1n2<1n−1−1n\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n^{2}}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}

进一步可以使用根号不等式

1n<2(n+1−n)\frac{1}{\sqrt{n}}<2\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr)

提升估计精度。

通用方法

速算技巧

  • 把 S0S_0 设为 00，有时可直接求出常数项。
  • 当级数满足 Sn=a⋅2 n−1+a−2S_n=a\cdot2^{\,n-1}+a-2 时，令 n=0n=0 求 aa。

等差等比混合

若数列形如 an=(An+B)q n−1a_n=(An+B)q^{\,n-1}，可化为

Sn=(Dn+E)q n−ES_n=(Dn+E)q^{\,n}-E

其中 D=Aq−1D=\dfrac{A}{q-1}、E=B−Dq−1E=\dfrac{B-D}{q-1}。

数学归纳

通过基例与归纳假设，验证递推式的通项公式。

直接变形

把递推式两边加（或减）常数，使其转化为等比形式。例如 an=pan−1+qa_n=pa_{n-1}+q，取 x=qp−1x=\dfrac{q}{p-1}，则 bn=an+xb_n=a_n+x 为等比数列。

变形累加

对 an=pan−1+qa_n=pa_{n-1}+q 两边除以 p np^{\,n}，再累加得到

an=(a1−q)p n−1+qp−1(p n−1)a_n=(a_1-q)p^{\,n-1}+ \frac{q}{p-1}\bigl(p^{\,n}-1\bigr)

数列判定

  • 定义法：检验 an−an−1a_n-a_{n-1}（等差）或 anan−1\dfrac{a_n}{a_{n-1}}（等比）是否为常数。
  • 中项法：等差满足 2an=an−1+an+12a_n=a_{n-1}+a_{n+1}，等比满足 an2=an−1an+1a_n^{2}=a_{n-1}a_{n+1}。

奇偶数列

对交错符号或绝对值数列，可分别讨论正负段的和，从而得到整体求和公式。

单调性

若 an+1≥ana_{n+1}\ge a_n（或 >>）则称为单调递增；若 an+1≤ana_{n+1}\le a_n（或 <<）则为单调递减。迭代式 an+1=f(an)a_{n+1}=f(a_n) 的单调性可通过 f′(x)f'(x) 的符号判断。

换元初步

三角换元

常用恒等式：

cos⁡2θ=2cos⁡2θ−1,tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\cos2\theta=2\cos^{2}\theta-1,\qquad \tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}

帮助把二次递推转化为角度倍增。

例题（三角换元）

递推 an+1=an2−2a_{n+1}=a_n^{2}-2，取 an=2cos⁡θna_n=2\cos\theta_n，得到 θn+1=2θn\theta_{n+1}=2\theta_n，于是

an=2cos⁡ ⁣(2 n−1arccos⁡14)a_n=2\cos\!\Bigl(2^{\,n-1}\arccos\frac14\Bigr)

双曲换元

递推 an+1=2an2−1a_{n+1}=2a_n^{2}-1，令 an=kx+k−x2a_n=\dfrac{k^{x}+k^{-x}}{2}，得到

an=(3+22) 2 n−1+(3−22) 2 n−12a_n=\frac{(3+2\sqrt2)^{\,2^{\,n-1}}+(3-2\sqrt2)^{\,2^{\,n-1}}}{2}

基础例题精选

下面列出四道常见递推题的快速求解过程，帮助读者熟悉技巧。

例题一

递推 an=2an−1+3  (n≥2), a1=1a_n=2a_{n-1}+3\;(n\ge2),\ a_1=1。
加上常数 33 后得到等比数列 bn=an+3=2 n+1b_n=a_n+3=2^{\,n+1}，故

an=2 n+1−3a_n=2^{\,n+1}-3

例题二

递推 an=an−1+n  (n≥2), a1=1a_n=a_{n-1}+n\;(n\ge2),\ a_1=1。
累加得到

an=1+2+⋯+n=n(n+1)2a_n=1+2+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}

例题三

递推 an=2an−1+n  (n≥2), a1=1a_n=2a_{n-1}+n\;(n\ge2),\ a_1=1。
除以 2 n2^{\,n}，累加后化简得

an=2 n+1−2−na_n=2^{\,n+1}-2-n

例题四

递推 an=2an−1+n2  (n≥2), a1=1a_n=2a_{n-1}+n^{2}\;(n\ge2),\ a_1=1。
同样除以 2 n2^{\,n}，经过差分与累加，最终得到

an=3⋅2 n+1−n2−4n−6a_n=3\cdot2^{\,n+1}-n^{2}-4n-6

想要深入了解每个章节的完整推导、更多练习以及完整的原始手稿，请访问原文链接：

数列基础原文（完整版）

祝你在数列的世界里玩得开心，收获满满！

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